Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Januar 2009

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1609: Keplers „Astronomia nova“

Der vierhundertste Jahrestag des Erscheinens der „Astronomia nova“ von Johannes Kepler, worin er die ersten zwei Gesetze der Planetenbewegung veröffentlichte, ist zweifellos das bedeutendste und dementsprechend weltweit gewürdigte wissenschaftshistorische Jubiläum des gegenwärtigen Jahres. Ist dies nun zwar an erster Stelle ein Jubiläum der Astronomie und an zweiter oder womöglich sogar „nullter“ Stelle ein Triumph des vorurteilsfreien Schließens aus Beobachtungen über Dogmen und Vorurteile, so hat doch auch die Mathematik einen gewissen Anteil an diesem Jubiläum, und dessen wollen wir hier gedenken.

Ellipsen waren bereits in der Antike auf hohem Niveau studiert worden, aber Keplers Planetengesetze wiesen ihnen erstmals eine gewichtige Bedeutung außerhalb der reinen Mathematik zu. Vor allem aber erwies sich das sogenannte „Keplersche Problem“, welches sich aus dem zweiten Planetengesetz ergibt, bis ins 19. Jh. als folgenreich für die Mathematik. Es handelt sich darum, zu jedem gegebenen Datum die Position eines auf bekannter elliptischer Bahn bewegten Planeten zu bestimmen, eine Aufgabe, die die Astronomen schon unter der Annahme kreisförmiger Bahnen wegen der ungleichmäßigen Geschwindigkeit der Planeten zu vielerlei Hilfshypothesen veranlasst und letztlich mit zum Sturz des alten Weltbildes beigetragen hatte.
Wenn nun nach Kepler der Fahrstrahl von der Sonne S zum Planeten P in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht, so handelt es sich geometrisch darum, aus einem (durch die Zeit) gegebenen Verhältnis c der Fläche SAP zur Fläche der Halbellipse Ph (Perihel)A(Aphel) P die Größe eines die Lage von P charakterisierenden Parameters zu bestimmen. Da diese Halbellipse durch eine Stauchung in Richtung der kürzeren Ellipsenachse aus dem Halbkreis gleichen Durchmessers hervorgeht, ist das gegebene Verhältnis c der auf die Ellipse bezogenen Flächen gleich dem Verhältnis der um den zur Stauchung reziproken Faktor zum Halbkreis gestreckten Flächen, also (*) c gleich Fläche SAQ : Halbkreisfläche, wobei Q den P zugeordneten „Phantomplaneten“ auf dem Kreis bezeichnet.

Da man mit der Lage von Q auch die von P kennt, hatte Kepler den glücklichen Einfall, als einen Parameter, der die Lage von P kennzeichnet, den Winkel β am gemeinsamen Mittelpunkt von Ellipse und Kreis zu wählen, der seitdem als exzentrische Anomalie bezeichnet wird. Ist a der Radius dieses Kreises und daher gleichzeitig die Länge der großen Halbachse der Ellipse, so hat der Halbkreis die Fläche ½ πa². Die Fläche SAQ setzt sich aus der Fläche des Kreissektors AQ (= ½ βa² ) und der Fläche ae⋅sin (π-β) des Dreiecks SZQ zusammen, wo e wie üblich die Exzentrizität SZ der Ellipse bezeichnet. Setzt man dies alles in die ursprüngliche Proportion (*) ein und drückt e durch die numerische Exzentrizität ε = e:a aus, so erhält man für die Unbekannte β die Keplersche Gleichung β + ε⋅ sinβ = cπ, die nun leider mit algebraischen Mitteln oder goniometrischen Tricks nicht zu lösen ist. Mit ihr haben sich im Laufe von Jahrhunderten u.a. Christopher Wren (1632 - 1723), James Gregory (1638 – 1675), 1672 Lösung durch unendliche Reihen, Isaac Newton (1643 – 1727) Lösung durch sukzessive Approximation und Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813), 1769 Reversionstheorem, beschäftigt, und schließlich führte sie Friedrich Wilhelm Bessel (1784 – 1846) 1816 zum systematischen Studium der nach ihm benannten Besselschen Funktionen.