Kreisverwandte Abbildungen

1855: August Ferdinand Möbius begründet die Theorie der kreisverwandten Abbildungen

August Ferdinand Möbius

August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) gilt heute als der wahre Urheber des gruppentheoretischen Denkens in der Geometrie, das meist mit Felix Klein und seinem Erlanger Programm in Verbindung gesehen wird. Klein selbst bekannte in der letzten Fassung dieses Programms 1921: „Im übrigen verweise ich gern noch...auf die Arbeiten von Möbius (die ich selbst erst nach ihrem innern Zusammenhang erfaßte, nachdem ich bei der von der sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften in den Jahren 1885 - 1887 veranstalteten Gesamtausgabe seiner Werke mitwirken durfte.)“ Diese zunächst noch implizit gruppentheoretische Betrachtungsweise wäre wohl noch lange auf die Gruppe der projektiven Abbildungen und ihre Untergruppen beschränkt worden, wenn nicht Möbius mit den Kreisverwandtschaften einen ersten Abstecher ins Nichtlineare unternommen hätte (dem schließlich noch, aber in zu seinen Lebzeiten ungedruckten Manuskripten, die erste Ahnung der topologischen, von Möbius als Elementarverwandtschaften bezeichneten Abbildungen folgte).

Eine Kreisverwandtschaft (oder kreistreue Abbildung) der Ebene ist eine Abbildung der Ebene auf sich (oder eine andere Ebene bzw. Fläche),

stereographische Projektion

bei der Kreise in Kreise abgebildet werden unter den beiden Voraussetzungen, dass Geraden als Kreise durch einen einzigen unendlich fernen Punkt gelten und dass dieser Punkt der Ebene hinzugefügt wird, also sowohl als Bildpunkt wie auch als Urbildpunkt auftritt. Hat man erst den vollen Einblick in diese Art Geometrie (heute nach Möbius benannt), so weiß man, dass die Ebene dann im Prinzip als Projektionsbild einer Kugeloberfläche aufgefasst ist, wobei das Projektionszentrum auf der Kugel liegt und dem hinzugefügten unendlich fernen Punkt entspricht. Eine solche Projektion der Kugeloberfläche auf eine Ebene war bereits in der Antike bekannt und in der Astronomie genutzt. Vermutlich geht sie sogar auf Hipparch (gest. 127 v. Chr.) zurück. Ausführlich und mit geometrischem Beweis dargelegt ist sie in der kleinen Abhandlung Planisphaerium des Ptolemäos (um 85 - um 160). Ptolemäos nutzte den Himmels-Südpol S, um die gedachte Himmelskugel auf die Ebene e durch den Äquator zu projizieren und bewies, dass dabei Kreise der Kugeloberfläche in Kreise der Bildebene übergehen mit Ausnahme der Kreise durch den Südpol, die offensichtlich mittels der durch sie zu legenden projizierenden Ebenen in Geraden der Bildebene übergehen. Man hat also eine Möglichkeit, eine ebene Karte des gedachten Himmelsgewölbes so anzulegen, dass den kreisförmigen Bewegungen von Himmelskörpern (besser den Projektionen ihrer Bahnen auf die Himmelskugel) kreisförmige Bahnen in der Karte entsprechen.

ebenes Astrolabium	astronomische Uhr in der Stralsunder Nikolaikirche, 1394

Dieses Prinzip der stereographischen Projektion liegt dem so genannten ebenen Astrolabium und den Anzeigeblättern aller astronomischen Uhren zugrunde. Die Idee, dieses Abbildungsprinzip auch für kartographische Abbildungen der Erdoberfläche zu nutzen, hatte erstmals der Nürnberger Astronom und Mathematiker Johannes Werner (1468 - 1528), der bei dieser Gelegenheit betonte, dass man jeden beliebigen Punkt der abgebildeten Kugel als Projektionszentrum nehmen könne. Man kann also zum Beispiel eine Ebene mittels stereographischer Projektion auf die Kugel abbilden, dann die Kugel in sich drehen, spiegeln, wobei natürlich ebenfalls Kreise in Kreise übergehen und anschließend stereographisch auf die Ebene zurück projizieren oder auch das Bild auf der Kugel mittels eines neuen Projektionszentrums auf eine andere Ebene projizieren. Möbius zeigte am Ende seiner ersten Abhandlung Ueber eine neue Verwandtschaft zwischen ebenen Figuren (1853) über die Kreisverwandtschaft nahezu beiläufig, dass jede Kreisverwandtschaft auf diese Weise erhalten werden kann. Darin ist auch der Spezialfall enthalten, dass beide Bildebenen parallel und die zugehörigen Projektionszentren daher identisch sind. Dann geht der unendlich ferne Punkt in sich über und die Kreisverwandtschaft ist eine gewöhnliche Ähnlichkeitsabbildung.

Aber auch die Entdeckung der Kreisverwandtschaften geschah wie so vieles in der Geschichte der Wissenschaften auf einem Umweg: Um die Mitte des 19. Jhs. waren alle Geometer fasziniert von der projektiven Geometrie, und es entsprach dem Geist dieser Zeit, alles, was im Reellen gelungen war, ins Komplexe zu übertragen. Ersetzt man formal den Körper der reellen durch den Körper der komplexen Zahlen, so ist die komplexe Zahlenebene, kurios genug - das geometrische Bild einer komplexen Geraden. Möbius hatte sich die Aufgabe gestellt aufzuklären, welches die projektiven Abbildungen einer komplexen Geraden auf sich sind, mit anderen Worten, bei welchen geometrischen Abbildungen der Zahlenebene auf sich das komplex gerechnete Doppelverhältnis von je vier Punkten invariant bleibt. Und siehe! Das waren gerade die Kreisverwandtschaften. Auf Grund dieses merkwürdigen Zuganges ist die zitierte Arbeit von 1853 heute relativ schwer verständlich. Zugleich ergibt sich aber aus ihrem Ansatz, dass die Kreisverwandtschaften winkeltreue Abbildungen sind, was zum Beispiel bei der kartographischen Verwendung eine große Rolle spielt und wofür ein erster, anfechtbarer, aber elementargeometrischer Beweis von dem englischen Mathematiker Thomas Harriot (um 1560 - 1621) erbracht wurde. 1855 schob Möbius dann die Arbeit Die Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung nach, deren Jubiläum wir hier begehen.

Nachzutragen bleiben zwei Aspekte der Kreisverwandtschaften, die jeder für sich hätten dazu führen können, dass man den allgemeinen Begriff der Kreisverwandtschaft wesentlich früher erforscht hätte:

1. Die Inversion an Kreisen, auch als Transformation durch reziproke Radien bezeichnet, ist eine spezielle Kreisverwandtschaft. Bei gegebenem

   Inversion am Kreis

   Kreis k mit Mittelpunkt M und Radius r wird sie dadurch definiert, dass jeder Punkt P mit seinem Bildpunkt f(P) auf demselben bei M beginnenden Strahl liegt und dass stets das Produkt MP mal Mf(P) gleich r² ist. Daher ergibt sich aus dem Kathetensatz für rechtwinklige Dreiecke eine einfache Konstruktion von f(P) aus P. Außerdem ist sofort klar, dass eine solche Inversion das Innere des Inversionskreises k mit dem Äußeren und dabei M mit dem unendlich fernen Punkt vertauscht und dass genau für die Punkte P auf k gilt f(P) = P. Aus der Sicht der stereographischen Projektion entspricht die Inversion der Spiegelung der Kugeloberfläche an demjenigen als Äquator genommenen Kreis, an dem invertiert wird. Die Inversionen sind die einzigen Kreisverwandtschaften, die den unendlich fernen Punkt mit einem eigentlichen Punkt vertauschen, und zusammen mit den Ähnlichkeiten erzeugen sie alle Kreisverwandtschaften. Sie wurden schon von Pappos (um 320) beschrieben, und vor allem Vieta (1540 - 1603) benutzte sie in seinem Apollonius Gallus, um die schwierigeren Fälle des Apollonischen Berührungsproblems (Das ist die von Apollonios von Perge (um 260 - um 190 v. Chr.) formulierte Aufgabe, zu drei gegebenen Kreisen der Ebene alle Kreise zu konstruieren, die diese drei Kreise berühren. Im allgemeinsten Fall hat die Aufgabe 8 Lösungen, die sämtlich mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind.) auf einfachere Fälle zu reduzieren. August Adler (1863 - 1923) benutzte diese Idee 1890 für einen neuen Beweis des Satzes von Mohr-Mascheroni (Dieser Satz besagt, dass jede mit Zirkel und Lineal lösbare Konstruktionsaufgabe mit dem Zirkel allein gelöst werden kann, sofern man auf Geraden im Resultat verzichtet bzw. sie durch je zwei ihrer Punkte als konstruiert ansieht.): Das Lineal wird entbehrlich gemacht, indem man die gesamte Figur einer Konstruktionsaufgabe durch geeignete Inversion so transformiert, dass alle darin vorkommenden Geraden in Kreise abgebildet werden.

2. Abbildungen der komplexen Zahlen auf sich, die die Form f(z) = z +a haben, entsprechen den Translationen der komplexen Ebene um den Vektor a. Abbildungen der Form f(z) = bz bedeuten eine Ähnlichkeitsabbildung mit dem Faktor |b| bei gleichzeitiger Drehung um den Koordinatenursprung um die Winkelkoordinate von b. Die ganzen linearen Abbildungen der komplexen Zahlen auf sich entsprechen daher umkehrbar eindeutig den Ähnlichkeitsabbildungen der komplexen Ebene auf sich. f(z) = 1/z ist eine Inversion am Einheitskreis bei gleichzeitiger Spiegelung an der reellen Achse. Daraus ergibt sich, dass die Kreisverwandtschaften der komplexen Zahlenebene umkehrbar eindeutig den gebrochen linearen Abbildungen des Körpers der komplexen Zahlen entsprechen. Da die Kreisverwandtschaften und, wie sich zeigt nur sie, winkeltreu (wofür man seit Gauß auch konform sagt) sind, ermöglicht die komplexe Betrachtungsweise eine sehr effektive Behandlung der konformen Abbildungen, was in einigen Zweigen der Analysis von großer Bedeutung ist. Die Arbeit von Möbius über die Kreisverwandtschaft, obwohl in der Fülle der geometrischen Errungenschaften des 19. Jahrhunderts heute fast vergessen, nimmt daher insgesamt doch einen ziemlich wichtigen Platz in der Geschichte der Geometrie ein.