Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Oktober 2009

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1809: J. L. Lagrange veröffentlicht seine Methode der Variation der Konstanten zur Lösung linearer Differentialgleichungen.

Erst zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurde Schritt für Schritt klarer, in welchem Maße die Betrachtung von Funktionen als „Vektoren“ tiefliegende Analogien zwischen teils lange bekannten Sätzen und Methoden der Analysis einerseits und solchen der linearen Algebra andererseits durchschaubar macht. (Vgl. dazu das Kalenderblatt „Geometrisierung der Analysis" (2006)). Nun war auch klar, warum die Lösungsmenge einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung

\[(1)\qquad \ y^{(n)}(x)+c_1(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +c_{n-1}(x)y'(x)+c_n(x)y(x)=f(x)\]

den analogen Bedingungen genügt wie die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems: Die Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung (bei der die rechte Seite \(f(x)\) durch die Nullfunktion ersetzt ist) sind alle
möglichen Linearkombinationen aus einem maximalen System linear unabhängiger spezieller Lösungen \(y_i(x)\):

\[ (2) \qquad \ y(x)=a_1y_1(x)+\cdots + a_n y_n(x), \;(\textit{mit Zahlkoeffizienten}\; a_i) \]

und die sämtlichen Lösungen der Gleichung (1) erhält man daraus, indem man eine beliebige Lösung von (1) zu allen Funktionen des Lösungsraumes der homogenen Gleichung addiert. Dies wusste schon d’Alembert um 1765. Da die Gestalt der Lösungen homogener linearer Differentialgleichungen lange bekannt ist, kommt es also im Wesentlichen darauf an, eine beliebige spezielle Lösung von (1) zu finden.

Am 13.3.1809 verlas Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) in der Pariser Akademie seine Abhandlung „Mémoire sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la mécanique“, über die Methode der Variation der Konstanten¹, die er selbst bereits seit vielen Jahren erfolgreich beim Finden spezieller Lösungen von inhomogenen linearen Differentialgleichungen praktiziert hatte. Sie besteht darin, in der allgemeinen Lösungsformel (2) für die homogene Gleichung die beliebigen Konstanten \(a_i\) durch zunächst unbekannte Funktionen \(a_i(x)\) zu ersetzen, die so zu bestimmen sind, dass die inhomogene Gleichung (1) erfüllt wird.

Indem man die Ableitungen \(a_i'\) dieser Funktionen geeigneten linearen Bedingungen unterwirft und mit diesem Ansatz in die Gleichung (1) einsetzt, erhält man schließlich ein lineares Gleichungssystem für die Funktionen \(a_i'\). Hat man dieses rein algebraisch gelöst, so hat man „nur noch“ aus den gefundenen \(a_i'\) durch gewöhnliche Integration die gesuchten Koeffizienten \(a_i(x)\) zu bestimmen.

Dabei ist aber zu berücksichtigen, dass die Theorie der linearen Gleichungssysteme zu Beginn des 19. Jahrhunderts noch wenig entwickelt war und man mit dem allgemeinen Fall, in dem die Zahl der Gleichungen nicht mit der Zahl der Unbekannten übereinstimmt oder die gegebenen Gleichungen nicht unabhängig sind, wenig anzufangen wusste. Auch der sogenannte Gaußsche Algorithmus wurde erst 1810 (in einer astronomischen Abhandlung) publiziert. Dass die Lagrangesche Methode wirklich in jedem Fall funktioniert, konnte 1809 gar nicht exakt bewiesen werden. 1810 folgte eine zweites „Mémoire“ Lagranges zu diesem Thema. Beide sind in Band VI der 14-bändigen Ausgabe der Werke Lagranges (Paris 1867 – 1892) wieder abgedruckt.

 

 

Lagrange wurde als Giuseppe Lodovico Lagrangia in Turin geboren und änderte in der Jugend mehrfach die Schreibung seines Namens (u.a. Luigi De la Grange 1754). Er verbrachte den größten Teil seines Lebens als Mitglied der Berliner (1766 – 1787) und danach bis zu seinem Tode als Mitglied der Pariser Akademie. Sein umfangreiches Lebenswerk betrifft vor allem Analysis und theoretische Mechanik sowie Algebra und Zahlentheorie. Zahlreiche Begriffe, Formeln und Methoden sind nach ihm benannt.

¹Die Bezeichnung „Variation der Konstanten“ geht demnach direkt auf den Titel der Arbeit von Lagrange zurück. Der Name ist beibehalten worden, obwohl man – genau genommen – eine Konstante nicht variieren kann.