Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Februar 2004

Logik

Aus heutiger Sicht steht diese präzisierte Logik der (hinreichend weit aufgefassten) Informatik als Wissenschaft von der Erzeugung, Transformation und Rezeption von Informationen wahrscheinlich viel näher als der eigentlichen Mathematik, aber Informatik gab es halt im 19. Jahrhundert nicht, und die Männer, die die moderne Logik aus der Taufe hoben, waren Mathematiker. Die frühe "Ehe" zwischen Mathematik und Logik hat beide Disziplinen rund 150 Jahre lang geprägt: Aus der Logik wurden alle schon vorhandenen Ansätz verbannt, die nicht den Gegebenheiten der damaligen Mathematik entsprachen: Als sprachliche Gebilde waren nur Aussagen interessant (nicht etwa Handlungsanweisungen oder Fragen), und diese Aussagen waren stets entweder wahr oder falsch (nicht etwa mehr oder weniger wahrscheinlich richtig, notwendigerweise richtig oder womöglich richtig. All dies, der Realität mehr Entsprechende wird erst jetzt unter dem Aspekt der "künstlichen Intelligenz", also der Informatik, wieder interessant). Aus der Mathematik umgekehrt wurde alles verbannt, was nicht streng logisch zu beweisen war, sondern eventuell nur Erfahrungstatsache, Vermutung, Annäherung an die Wahrheit. (Auch das hat sich inzwischen unter der Einwirkung des Computers schon ein wenig geändert.)

Feiern wir also einen 150. Geburtstag der mathematischen Logik und nehmen wir dazu denjenigen Namen, den vor allem die Verwendung in der Informatik so ungeheuer populär gemacht hat, dass er fast als Synonym für Aussagenlogik gelten kann: George Boole (1815 - 1864).

Drei Bilder von George Boole - zum Vergrößern anklicken

Der Engländer Boole, geb. in Lincoln, war als Mathematiker im Wesentlichen Autodidakt, arbeitete schon mit 15 Jahren als Lehrer und wurde schließlich auf Grund seiner Publikationen 1849 Professor für Mathematik am neugegründeten Queens College in Cork (Irland), ohne irgendwelche akademische Ausbildung oder gar Grade und Titel zu besitzen. Booles Leistung ist eingebettet in die einer größeren Anzahl von Männern, die sich um ungefähr dieselbe Zeit ebenfalls um eine neue Grundlegung der Logik bemühten, u.a. Augustus de Morgan (1806 - 1871), John Stuart Mill (1806 - 1873), William Stanley Jevons (1835 - 1882), Charles Sanders Peirce (1839 - 1914), Gottlob Frege (1848 - 1925). Was Boole von all diesen unterscheidet und seine Logik nachhaltig beeinflusst hat, war sein frühes aktives Interesse für den damals blühenden Operatorenkalkül der Analysis: Indem man das wiederholte Differenzieren einer Funktion als eine formale Operation D auffasste, konnte man z.B. die Differentialgleichung y-y'=f(x) in der Form (E-D)y=f(x) schreiben und formal nach y auflösen. Man erhält

• Er fasste die zusammenfassende Auswahl aller Dinge, die eine bestimmte Eigenschaft x haben, als einen Operator X auf, für den er einen zum oben skizzierten Kalkül analogen algebraischen Kalkül erstrebte.
• Er sorgte sich nicht darum, ob alle Zwischenformeln bei der Handhabung des Kalküls sinnvoll interpretierbar sind, sofern sich nur die Ergebnisse sinnvoll interpretieren lassen.

Bezeichnet demnach X die Auswahl aller Dinge mit der Eigenschaft x, Y die Auswahl aller Dinge mit der Eigenschaft y, 1 die Auswahl aller nur denkbaren Dinge, das Produkt XY die Hintereinanderausführung der Wahlen X, Y, X+Y die Auswahl aller Dinge die x oder y sind (bei Boole nur, falls es kein Ding gibt, das zugleich x und y ist), X-Y die Wahl aller Dinge, die x, aber nicht y sind. Dann ist u.a. XY=YX, X(Y+Z)=XY+XZ und X²=X. Definiert man weiterhin z.B. 0 als X-X (was aus unserer Sicht der leeren Menge entspricht, aber in der Vorstellungswelt Booles nicht leicht als eine Auswahl zu interpretieren ist), so folgt aus X=X² zunächst X-X²=0 und wegen der Distributivität X(1-X)=0. Letzteres kann man wieder interpretieren: Es gibt kein Ding, welches gleichzeitig x und nicht x ist. Booles erste Arbeit The Mathematical Analysis of Logic, Beeing an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning erschien 1847. Er hatte sie sehr schnell geschrieben und war hinterher mit vielem nicht zufrieden. Unser Leser wird diesen Titel jetzt gut verstehen. Für seine zweite, wesentlich längere Arbeit An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probability, die 1854 erschien und deren Geburtstag wir hier feiern, hatte er sich viel Zeit genommen. Der Kalkül war nun mit dem mainstream der damaligen Logik und Philosophie nahe kommenden, linguistischen und psychologistischen Interpretationen abgestützt, vor allem aber beschäftigte er sich in den Kapiteln 16-21 mit dem Schätzen der Wahrscheinlichkeit der Wahrheit von Schlüssen aus nur wahrscheinlichen Prämissen. In dieser Richtung ist ihm lange niemand gefolgt, und das Buch verkaufte sich sehr schlecht. Was wir heute unter Booleschen Funktionen und Boolescher Algebra verstehen und was uns recht einfach erscheint, hätte Boole selbst aus seiner psychologistisch-operationalistischen Position heraus wahrscheinlich nicht akzeptiert.

Literatur:

• George Boole: The Mathematical Analysis of Logic, Beeing an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning (1847). Reprint Oxford-NewYork 1948.
• George Boole: An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probability (1854). Reprint New York 1958.
• Ivor Grattan-Guinness, Gérard Bonnet (Hrsg.): George Boole. Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy. Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser 1997.