Das mathematikhistorische Kalenderblatt - März 2008

Zurück zur Übersicht des mathematikhistorischen Kalenderblatts

1858: Vor 150 Jahren wird das "Möbiusband" entdeckt

Es gibt wohl nur wenige mathematische Entdeckungen des 19. Jahrhunderts, die in solchem Maße das Interesse von Laien geweckt und insbesondere die Phantasie von Künstlern angeregt haben wie die einseitigen Flächen.

Das vielleicht größte Möbiusband der Welt findet man im südkoreanischen Wissenschafts- und Technikpark Daejeon (Foto A. Wolff)

Diese Flächen trugen innerhalb der Mathematik dazu bei, die damals verfestigte Vorstellung von der Geometrie als einem Reich der algebraischen Mannigfaltigkeiten und einer sozusagen bloßen Versinnlichung von klassisch-formelmäßig beherrschbaren Objekten, Gesetzen und Prozessen aufzuweichen. So haben sie nicht nur der Topologie und deren Abkömmlingen wie Graphen- und Knotentheorie sondern im weiteren Sinne auch allen anderen "nichtklassischen" neuen Richtungen der Geometrie den Weg zu ebnen geholfen.

Die Anfänge müssen schwer gewesen sein. Christian von Staudt (1798-1867) hatte 1847 in seiner als neuartiges Lehrbuch für Gymnasien konzipierten Geometrie der Lage" geschrieben - offenbar ohne darüber nachzudenken - "Jede Fläche hat zwei Seiten", und 15 Jahre lang war dies ohne Widerspruch hingenommen worden. 1862 erschien "Der Census räumlicher Complexe" von Johann Benedict Listing (1808 - 1882), in dem das Möbiusband nebst einer Fülle anderer seltsamer Beispiele für Listings extreme Verallgemeinerung der Eulerschen Polyederformel (das ist der Sinn des "Census") diente und auch erstmals abgebildet wurde.

Auf der Bildtafel 1 aus Listing "Census" sieht man in der ersten Reihe als drittes Objekt von links die sehr schlichte erste gedruckte Abbildung des "Möbiusbandes".

Aus dem Studium der Nachlässe weiß man heute, dass Listing diese Fläche seit Juli 1858 kannte. Wenig später, etwa im September 1858, taucht das Band auch in den Aufzeichnungen von August Ferdinand Möbius (1790- 1868) auf. 1865 publizierte er es in der Arbeit "Ueber die Bestimmung des Inhaltes von Polyedern", an der er seit 1858 gearbeitet hatte und mit der er sich vergeblich um einen Preis der französischen Akademie bewarb.

    Listing und Möbius

Weltweit bekannt wurde es erst durch die Herausgabe seiner Gesammelten Werke ab 1885. Felix Klein (1849 - 1925) hat mehrfach bekannt, wie viele Anregungen er aus der Beteiligung an dieser Edition gewonnen hat. Den nach ihm benannten "Kleinschen Schlauch" als einfachste einseitige geschlossene Fläche hatte er allerdings schon 1882 gefunden, als er den Unterschied zwischen Einseitigkeit (abhängig vom umgebenden Raum) und Nichtorientierbarkeit (eine innere Eigenschaft) studierte. Listing hingegen, obgleich Schüler von Gauß, war Physikprofessor, und sein "Census" war in den "Abhandlungen der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen" zwischen Arbeiten über Medizin, Philologie und Naturwissenschaften versteckt. Sein Titel und Inhalt erschließen die Bedeutung nicht auf den ersten Blick.

Wenn es einer Rechtfertigung für die Arbeit des Mathematikhistorikers bedarf, so ist die nachträgliche Entdeckung der Priorität Listings und seine Würdigung dafür ein gutes Beispiel.

In Anlehnung an Eschers berühmtes, von Ameisen bevölkertes Möbiusband hat der Dresdner Geometrieprofessor Gert Bär (geb. 1946) 1986 dieses Bild geschaffen.

Als noch elementargeometrisch lösbare Aufgabe, die in mehrere Problemkreise der heutigen Mathematik (Erweiterung von Strukturen, formales Definieren, innere Geometrie von Flächen, ...) einführt, empfiehlt sich z.B. für Schüler die folgende: Man erweitere die Menge der Punkte P des rechteckigen Streifens, aus dem das Möbiusband erzeugt werden soll, durch die Menge aller Punkte Pd, wobei jedem Punkt P der entsprechende Punkt Pd auf der Rückseite der Fläche zugeordnet ist. Verheftet man nun (unter Vernachlässigung der dafür nötigen Überlappung) die Enden des Streifens verdreht miteinander, so entsteht aus der alten euklidischen Metrik auf dem Rechteck eine neue Metrik auf der einseitigen Vereinigungsmenge aller P und aller Pd. Dieser Abstand ist (unter Benutzung einer dafür nötigen Fallunterscheidung) zu definieren.

Als der Schweizer Bildhauer Max Bill (1908 - 1994) 1935 sein erstes Möbiusband als Steinplastik schuf, glaubte er, dies erfunden zu haben. Er soll ziemlich frustriert gewesen sein, als er erfuhr, dass die Mathematiker das Gebilde bereits 70 Jahre früher kannten. Als späte Rache an den Mathematikern hat er 1986 den sogenannten "Koloss von Frankfurt" (Offizieller Titel "Kontinuität") geschaffen, der so raffiniert gefaltet ist, dass man nicht erkennen kann, ob es sich um eine einseitige oder eine zweiseitige Fläche handelt:

Literatur:
A.F.Möbius: Gesammelte Werke, Hrsg. R.Baltzer, F. Klein, W.Scheibner, 4 Bände, Leipzig 1885-1887, bes.Bd. 2 u.4.
Ch. Scriba, P. Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer 2000 und 2005.