Das mathematikhistorische Kalenderblatt - April 2009

Zurück zur Übersicht des mathematikhistorischen Kalenderblatts

1509: „De divina proportione“ von Luca Pacioli wird gedruckt

Die Mathematikhistoriker sind sich darüber einig, dass Luca Pacioli (ca. 1445 – 1519, seit ca. 1475 Franziskaner) nicht zu den begabtesten Mathematikern seiner an großen Geistern reichen Zeit gehörte. Zugleich aber hat er durch seine umfangreiche Lehrtätigkeit in mehreren italienischen Städten und durch seine Bücher einen großen Einfluss ausgeübt. Während aber die 1494 gedruckte „Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita“ als Lehrbuch damals weit verbreitet war und heute nur noch von historischem Interesse ist, hat das hier zu besprechende Werk trotz seiner Seltenheit einen langanhaltenden Einfluss ausgeübt. (Anscheinend haben nur drei Exemplare überlebt. Sie befinden sich in Mailand, Genf und Oxford.)
Es bestand aus drei relativ selbständigen Teilen. Im ersten Teil, der eigentlichen „divina proportione“ (göttliche Proportion, womit der goldene Schnitt gemeint ist), trägt Pacioli nur zusammen, was bereits in den „Elementen“ des Euklid darüber steht, einschließlich der Lehre von den fünf regulären Polyedern, für deren Konstruktion ja der goldene Schnitt mehrfach notwendig ist. (Der goldene Schnitt wird auch als stetige Teilung einer Strecke bezeichnet. Für die mathematischen und kulturhistorischen Aspekte verweisen wir auf die Bücher von Walser, Pfeifer und Beutelspacher/Petri.)

Bezüglich der Beweise verweist er dabei nur auf die „Elemente“, ergeht sich hingegen in heute schwer verdaulichen Lobreden auf die universelle Bedeutung dieser „göttlichen“ Proportion und auch auf seine damaligen Gönner, denen das ganze Werk gewidmet war. (Dies war zunächst Ludovico Sforza, Herzog von Mailland, dann Piero Soderino, Gonfalonier von Florenz.)
Immerhin nahm der spätere, besonders im 19. Jahrhundert stark übertriebene Kult um den goldenen Schnitt zum Teil seinen Ausgang in dieser Schrift.
Kunsthistoriker haben wiederholt darauf hingewiesen, dass insbesondere in der Architektur und Kunst bis dahin eher die den reinen musikalischen Intervallen entsprechenden Zahlenverhältnisse eine ästhetische Rolle gespielt hatten. Die „divina proportione“ enthält ferner die Beschreibung einiger durch Abstumpfung von Ecken und/oder Kanten oder Aufsetzen von Pyramiden auf die Begrenzungsflächen aus den regulären Polyedern ableitbarer Körper. Der zeitlose Wert dieser Abhandlung besteht aus den 60 Illustrationen, die Leonardo da Vinci für diesen Teil geliefert hatte und die bis in die Gegenwart immer wieder reproduziert werden.

Leonardo und Pacioli standen beide 1497 im Dienst des Herzogs von Mailand, flohen nach der französischen Besetzung Mailands gemeinsam nach Florenz, wo sie zeitweise sogar die Wohnung teilten und, von beiderseitigen Reisen unterbrochen, bis ca. 1506 eng zusammenarbeiteten. Die „divina proportione“ entstand gerade in dieser Zeit und kursierte, wie es damals üblich war, jahrelang in Abschriften, bevor sie 1509 gemeinsam mit zwei weiteren Schriften Paciolis unter dem gemeinsamen Titel der „divina proportione“gedruckt wurde. Es ist mehr als wahrscheinlich, dass auch Albrecht Dürer sie während seines zweiten Italienaufenthaltes (1504-06) gesehen hat und dadurch zu seinen eigenen Studien sowohl über Polyeder als auch über die menschlichen Proportionen und über die Konstruktion von Buchstaben angeregt wurde, wie wir sie in seinen beiden theoretischen Werken finden. (Siehe die genannte Werkausgabe Dürers.)
Im zweiten Teil des venezianischen Druckes untersuchte Pacioli u.a. die Anwendung bzw. das Vorkommen des goldenen Schnittes in der Architektur, wobei er sch weitgehend auf das klassische Standardwerk „De architectura“ des Römers Vitruvius (1. Jh. v. Chr.) stützte. Zusätzlich behandelte er hier aber auch Proportionen des menschlichen Körpers und die exakte geometrische Konstruktion eines stilistisch einheitlichen Alphabetes.

Auch dies war so originell nicht. Schon vorher und auch nahezu gleichzeitig hatten mehrere andere Italiener sich mit der Konstruktion von Buchstaben beschäftigt (u.a. Felice Feliciano, Damiano da Moile, Sigismondo des Fantis) Der dritte Teil von Paciolis Buch schließlich ist eine italienische Kompilation einer damals unpubliziert gebliebenen lateinischen Schrift über reguläre und daraus durch Abstumpfung zu gewinnende halbreguläre Polyeder von dem berühmten und mathematisch hochbegabten Maler Piero della Francesca (um 1420? – 1492.). Beide stammten aus der kleinen Stadt Sansepolcro (damals Borgo San Sepolcro) etwa 60 km südöstlich von Florenz und kannten sich sicher persönlich, zumal Piero immer wieder in seine Heimatstadt zurückkehrte und dort auch gestorben ist. Man nimmt sogar an, dass Pacioli seine erste mathematische Bildung von dem wesentlich älteren Piero erhalten hat, obwohl es dafür keine Beweise gibt. Jedenfalls wurde dieser „Libellus“ (Büchlein) über die regulären und halbregulären Polyeder von vielen als freches Plagiat betrachtet, zumal Pacioli an keiner Stelle auf Piero della Francesca Bezug nimmt. Andererseits ist darauf hingewiesen worden, dass das Zitieren von Quellen gerade in dieser Zeit erst langsam in Gebrauch kam. Pacioli hatte jedoch in der „divina proportione“ der Liste der bereits von Piero behandelten halbregulären Polyeder einen weiteren hinzugefügt. Es handelt sich um den heute als Rhombicuboctrahedron bezeichneten, von 18 Quadraten und 8 Dreiecken begrenzten Körper, der noch im 20. Jh. für eine kleine wissenschaftliche Sensation sorgte, als man entdeckte, dass man aus ihm durch Drehung der oberen Schicht um 45° einen bis dahin unbekannten Körper gewinnen kann, der der klassischen Definition von Halbregularität genügt, aber nicht durch symmetrische Abstumpfung aus dem Würfel entsteht und keine auf den Ecken transitive Symmetriegruppe besitzt. ( Miller 1930, Aschkinuse 1957, siehe dazu Scriba/Schreiber, S. 467.)

Pacioli’s Körper Miller-Aschkinuse-Polyeder

 

Wie stolz Pacioli auf die Entdeckung des Rhombicuboctahedron gewesen sein muss, erkennt man daran, dass dieser Körper zusammen mit Pacioli und dessen Schüler und Mäzen Guidobaldo da Montefeldro auf dem bekannten Gemälde von Jacopo de Barbari zu sehen ist, wo er als scheinbar gläsernes Modell von der Decke herabhängt. (Jacopo de Barbari (1440 – 1515). Das vielfach reproduzierte Bild (1495) befindet sich im Museo di Capodimonte in Neapel. Man sagt, es sei das erste authentische Porträt eines Mathematkers. Nach Meinung einiger Experten ist Pacioli jedoch auch in dem Gemälde von Piero della Francesca "Madonna mit dem Ei", Mailand, Pinacoteca di Brera, als rechter der beiden betenden Franziskaner dargestellt. Dies würde zugleich die Beziehung zwischen Pacioli und Piero bekräftigen.)

 

Literatur:
Fra Luca Pacioli. Divina Proportione. Nach der venezianischen Ausgabe vom Jahre 1509
neu herausgegeben, übersetzt und erläutert von C. Winterberg. Wien 1889.
L. Pacioli: Divina Proportione. Reprints des Mailänder Exemplars, ed. G. Masotti
Biggiogero,Verona 1956, New York1982.
Dürer: Das druckgraphische Werk, Bd. III, Prestel 2004. Dieser Band enthält die „Underweysung“ (1525/1538) und die „Vier Bücher von menschlicher Proportion“(1528) mit ausführlichen Einleitungen und seitenweisen Kommentaren.
S. A. Jayawardene: Luca Pacioli, in Dictionary of Scientific Biography, NewYork – Toronto
1970ff.
J. V. Field: Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli,
Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler. Archive for
History of Exact Sciences 50 (1997), 241-289.
J. V. Field: The Invention of Infinity. Mathematics and Art in the Renaissance. Oxford
University Press 1997.
J. V. Field: Piero della Francesca: A Mathematician’s Art. Yale University Press 2005.
Ch. Scriba, P. Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer;2005.
F. X. Pfeifer: Der goldene Schnitt und dessen Erscheinungsformen in Mathematik, Natur und
Kunst. 1885. Reprint: Dr. Martin Sändig, Wiesbaden 1969.
H. Walser: Der goldene Schnitt. Leipzig 1993, 4. bearbeitete u. erweiterte Aufl. 2004.
A. Beutelspacher, B. Petri: Der goldene Schnitt, Heidelberg;1996.