Das mathematikhistorische Kalenderblatt - September 2009

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1859: Zetafunktion, Primzahlverteilung und Riemannsche Vermutung

Die Schaffenszeit des früh verstorbenen Göttinger Mathematikprofessors Bernhard Riemann (1826 – 1866) fällt noch in jene Periode, in der die Mathematik ihre wesentlichsten Impulse und Fortschritte aus der Übertragung bekannter Begriffe und Resultate aus dem Bereich des Reellen in den Bereich der komplexen Zahlen bezog.

Hierzu gehört auch Riemanns Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (1859). Hierin knüpfte er an Untersuchungen über die Zetafunktion

 

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\]

 

an, die bereits Leonhard Euler (1707 – 1783) für reelle Werte der Variablen s betrachtet hatte, fasste sie nun aber erstmals konsequent als in der komplexen Zahlenebene definiert auf und konnte sie durch analytische Fortsetzung für alle von s = 1 verschiedenen komplexen Zahlen s definieren. (Für s = 1 ergibt sich die divergente harmonische Reihe.) Euler hatte mit Hilfe der Zetafunktion erstmals einen wesentlichen Zusammenhang zwischen dem zahlentheoretischen Problem, die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze möglichst genau abzuschätzen, und einer reellen Funktion (eben der Zetafunktion) hergestellt und dies weiter auszubauen, war auch das Anliegen der genannten Arbeit von Riemann. In seiner verbesserten Abschätzung der Zahl der Primzahlen spielten die Nullstellen der Zetafunktion eine wichtige Rolle. Es ergab sich nun, dass die analytisch fortgesetzte Zetafunktion auf der negativen reellen Halbachse unendlich viele Nullstellen z = 0, -2, -4, -6,..., jedoch außerhalb der reellen Achse anscheinend nur Nullstellen mit dem Realteil ½, d.h. auf einer zur imaginären Achse parallelen Geraden, hat. Nahezu beiläufig erwähnte er dies als Vermutung. Um 1930 hat Carl Ludwig Siegel (1896 – 1981) bei der Bearbeitung des Nachlasses von Riemann verifiziert, dass dieser Riemannschen Vermutung offenbar umfangreiche numerische Rechnungen zugrunde gelegen haben. Seitdem haben Mathematiker zahlreiche Fortschritte in der Abschätzung der Primzahlen erzielt und es haben sich auch viele Mathematiker vergeblich bemüht, die Riemannsche Vermutung zu beweisen. David Hilbert (1862 – 1943) nannte sie in seinem berühmten Vortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1900 in Paris im achten der dort vorgestellten ungelösten Probleme. Es heißt dort:
Sobald dieser Nachweis gelungen ist, so würde die weitere Aufgabe darin bestehen, die Riemannsche unendliche Reihe für die Anzahl der Primzahlen genauer zu prüfen und insbesondere zu entscheiden, ob die Differenz zwischen der Anzahl der Primzahlen unterhalb einer Größe x und dem Integrallogarithmus von x in der Tat nicht höher als der ½ten Ordnung in x unendlich wird, und ferner, ob dann die von den ersten komplexen Nullstellen der Funktion zeta abhängenden Glieder der Riemannschen Formel wirklich die stellenweise Verdichtung der Primzahlen bedingen, welche man bei den Zählungen der Primzahlen bemerkt hat ...
Bezüglich weiterer Details zum aktuellen Stand der Forschungen über die Zetafunktion und die Primzahlverteilung und deren praktische Bedeutung für elektronische Verschlüsselungsverfahren können wir auf ausgezeichnete, ausführliche und recht aktuelle Beiträge in Wikipedia verweisen. Den dort (und ganz unten) gezeigten graphischen Darstellungen der Zetafunktion stellen wir eine historische Abbildung aus der Zeit vor 1920 an die Seite, als sowohl die Berechnung von Funktionswerten als auch die darauf beruhende graphische Darstellung des Funktionsbildes noch auf aufwändiger Handarbeit beruhten:

Quelle: Eugen Jahnke, Fritz Emde: Tafeln höherer Funktionen, Teubner,
Leipzig, mehrere Auflagen bis in die fünfziger Jahre des 20. Jhs.

 

Dieses Bild von \(|\zeta(z)|\) wurde von Dr. Ralf Schaper, Universität Kassel,
mit Mathematica erstellt, und zeigt, wie sorgfältig die Autoren
Jahnke und Emde gearbeitet haben.