Das mathematikhistorische Kalenderblatt - September 2006

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200 Jahre Satz von Brianchon

Vor 200 Jahren publizierte der 23-jährige Student der Pariser Polytechnischen Schule Charles-Julien Brianchon in der Hauszeitschrift dieser berühmten Hochschule eine kurze Arbeit mit dem Titel Sur les surfaces courbes du second degré. Der erste Teil dieser Arbeit, in dem ebene Hilfsmittel des eigentlichen Anliegens zusammengestellt wurden, enthielt u.a. nach einer Wiederholung der Sätze von Desargues und Pascal den Satz, der seitdem den Namen Brianchons trägt und seinen Entdecker bis zum heutigen Tag berühmt machte.

Erinnern wir uns: Pascals Satz von 1640 besagt: Wenn man 6 Punkte eines eventuell sogar ausgearteten Kegelschnittes ohne Rücksicht auf ihre natürliche Reihenfolge mit 1,...6 numeriert, die Verbindungsgerade des Punktes i mit dem Punkt j mit ij und den eventuell unendlich fernen Schnittpunkt der Geraden ij und kl mit ij/kl bezeichnet, so liegen die drei Punkte 12/45, 23/56 und 34/61 auf einer gemeinsamen Geraden.

Falls zwei der so bezeichneten Geraden parallel sind, so sind sie auch parallel zur Verbindung der restlichen beiden Schnittpunkte. Sind zwei der drei Schnittpunkte unendlich fern, so muss es auch der dritte sein, d.h. die drei Punkte liegen dann auf der unendlich fernen Geraden. Der Satz entsteht aus dem elementargeometrisch begründbaren Fall, dass die sechs gegebenen Punkte ein einem Kreis einbeschriebenes Sechseck bilden, durch wiederholte Transformation der Figur mittels Zentralprojektion auf andere Ebenen und bildet ein mächtiges Motiv, zur sogenannten projektiven Abschließung der gewöhnlichen Ebene überzugehen, indem man jedem Büschel paralleler Geraden einen idealen „unendlich fernen“ oder „uneigentlichen“ gemeinsamen Punkt zuordnet. Die von Laien gern gestellte Frage, wo sich denn dieser Punkt befindet bzw. wie man ihn sich vorzustellen hat, lässt sich am besten mit dem Hinweis auf analoge gedankliche Erweiterungen von Zahlbereichen beantworten. In all solchen Fällen handelt es sich eigentlich nur um eine zweckmäßige Erweiterung der benutzten Sprache, durch die viele Sachverhalte sich kürzer und klarer ausdrücken lassen, die aber bei Bedarf jederzeit in eine umständlichere und naivere gleichbedeutende Formulierung zurückübersetzt werden können.

Brianchons Satz nun lautet in heutiger Formulierung: Bezeichnet man 6 Tangenten eines Kegelschnittes ohne Rücksicht auf ihre natürliche Reihenfolge mit 1,...6, den Schnittpunkt der Tangenten i und j mit ij und die Verbindungsgerade der Schnittpunkte ij und kl mit ij/kl, so gehen die drei Geraden 12/45, 23/56 und 34/61 durch einen gemeinsamen Punkt.

Der Satz könnte also – kurz gesagt - aus dem Satz von Pascal gewonnen werden, indem man einfach die Rolle von Punkten und Geraden vertauscht und den Kegelschnitt nicht als Menge seiner Punkte sondern als Menge seiner Tangenten auffasst. Man hätte dann das Dualitätsprinzip der ebenen projektiven Geometrie in einem speziellen Fall angewendet. Umgekehrt bildete jedoch die merkwürdige Beziehung zwischen den Sätzen von Pascal und Brianchon eines der stärksten Motive für die Entdeckung dieses Dualitätsprinzips und die Suche nach Begründungen für die seine allgemeine Gültigkeit. Es mutet aus heutiger Sicht merkwürdig an, dass Brianchon selbst dieser Beziehung in seiner Arbeit kein Wort gewidmet hat, obwohl die beiden Sätze dort dicht beieinander stehen und er seinen Satz im Grunde durch die Anwendung einer speziellen Dualität aus dem Pascalschen Satz gewonnen hat, nämlich der durch einen beliebigen Kegelschnitt vermittelten Beziehung zwischen Pol und Polare. Diese Beziehung war vor allem vom überragenden Lehrer der Polytechnischen Schule, Gaspard Monge (1745 -1818), gepflegt und seinen Schülern, zu denen auch Brianchon gehörte, nahegebracht worden. Hingegen deutet Brianchon am Ende dieses Teils seiner Note an, dass sein Satz die konstruktive Lösung der Bestimmung eines Kegelschnittes aus fünf gegebenen Daten, welche teils Punkte, teils Tangenten sein können, gerade in denjenigen Fällen liefert, in denen der Satz von Pascal versagt. Diese Aufgabe war und ist inbesondere in der Astronomie bei der Bahnbestimmung von Himmelskörpern wichtig, die sich, dem Newtonschen Gravitationsgesetz zufolge, auf Kegelschnittbahnen um einen Zentralkörper bewegen.

Brianchon, der 1783 in Sèvres geboren wurde und 1804 als Student in die Ècole Polytechniqe eintrat, wurde wie wie alle Absolventen dieser Schule Offizier, nahm an den Felzügen Napoleons in Spanien und Portugal teil und wurde 1818 als Professor an die Artillerieschule der Königlichen Garde in Paris berufen. Er starb 1864 in Versailles. Er publizierte noch 3 Arbeiten, die man heute der projektiven Geometrie zurechnen kann, darunter von Bedeutung die 1818 erschienene Application de la théorie des transversales, in der systematisch die reine Inzidenzgeometrie der Punkte und Geraden vom projektiven Standpunkt unter besonderer Betonung der praktischen konstruktiven Aspekte behandelt wurde. Nach 1820 wandte er wie schon sein Lehrer Monge sein Interesse der Chemie zu, insbesondere im Zusammenhang mit der Herstellung von Schießpulver.

Der weitere Ausbau der projektiven Geometrie, in Frankreich hauptsächlich durch J. Gergonne und den mit Brianchon befreundeten J.-V. Poncelet, in Deutschland durch A. F. Möbius, Ch. von Staudt, J. Plücker u.a., förderte zwei ganz verschiedene Begründungen für das Dualitätsprinzip zutage. Einerseits legt die Untersuchung der projektiven Abschließung die Verwendung homogener Koordinaten nahe, weil sich dann auch die unendlich fernen Objekte in analoger Weise wie die im Endlichen gelegenen durch Koordinaten beschreiben lassen. In homogenen Koordinaten lautet aber die Gleichung, die das Liegen des Punktes mit den Koordinaten x₀, x₁, x₂ auf der Geraden mit den Koeffizienten a_o,a₁,a₂ zu Ausdruck bringt, a₀x₀ + a₁x₁ + a₂x₂ = 0, und nun spielt es keine Rolle mehr, welches die Punkt- und welches die Geradenkoordinaten sind. Andererseits erweist sich beim Übergang zur axiomatischen Beschreibung (statt mengentheoretisch-genetischer Konstruktion) der projektiven Ebene, dass die zu den Axiomen dualen Aussagen aus den Axiomen beweisbar sind und ebenfalls ein mögliches Axiomensystem bilden. Es war wohl Christian von Staudt, der 1847 als erster und –wohlgemerkt in einem für Gymnasiasten bestimmten Geometriebuch – lustvoll neben jeden Satz der projektiven Geometrie den dualen Satz schrieb und von der Freude der Schüler an diesem Spiel berichtete.

Am Rande sei erwähnt, dass 1856 der erste seiner drei Beiträge zur Geometrie der Lage (wie man die projektive Geometrie noch nannte) erschien. Mit diesen Beiträgen allerdings erhob er die projektive Geometrie deutlich über ihre anschaulichen und elementar verständlichen Wurzeln.

Das Dualitätsprinzip der ebenen (und das der räumlichen) projektiven Geometrie war das erste einer großen Anzahl im Detail sehr verschiedener Dualitäten, die bis heute eine große Rolle in verschiedenen Bereichen der Mathematik und auch der theoretischen Physik spielen. Gleichzeitig war es aber auch ein frühes Beispiel für das, was man später als Übertragungsprinzipien bezeichnet hat: Erschließung neuer Sachverhalte durch Uminterpretation der in bereits bekannten Sachverhalten vorkommenden Objekte.