Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Dezember 2007

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100 Jahre Satz von Riesz-Fischer

Als wir 2006 den 100. Jahrestag dessen feierten, was dort als "Geometrisierung der Analysis" bezeichnet wurde, war schon erwähnt worden, dass dieser Prozess natürlich aus mehreren Schritten bestand und eine Vor-und Nachgeschichte hatte. Zu dieser Nachgeschichte gehört unbedingt der im Titel des gegenwärtigen Kalenderblattes genannte Satz. Er sagt in seiner prägnantesten Form, dass der Hilbertraum L² der auf einem festen gemeinsamen kompakten Bereich definierten und dort quadratisch summierbaren Funktionen metrisch vollständig ist, bzw. äquivalent, dass im Sinne der Metrik dieses Raumes eine Funktionenfolge genau dann konvergent ist, wenn sie eine Fundamentalfolge ist (d.h. wenn sie das Konvergenzkriterium von Cauchy erfüllt).

In dieser letzten Form findet sich der Satz dann auch in dem nahezu weltbekannten Lehrbuch "Vorlesungen über Funktionalanalysis" von Frigyes (Friedrich) Riesz und Bela Szökefnalvy-Nagy. Es erschien zuerst in französischer Sprache 1952 im ungarischen Heimatland seiner beiden Autoren, wo es schon bis 1968 fünf Auflagen hatte. 1955 wurde es in den USA, 1956 ins Deutsche übersetzt und erreichte 1982 auch dort seine vierte Auflage.

F. Riesz

So schön und nützlich dieser Satz ist (er besagt ja, dass es wie im Fall der reellen Zahlenfolgen für die Konvergenz genügt, an den Folgengliedern die Cauchysche Bedingung nachzuweisen, dass man also die im Allgemeinen zunächst unbekannte Grenzfunktion dafür nicht schon kennen muss) - er wird mit einer vor allem für Anfänger schwer verdaulichen Abstraktion bezahlt.

Die Konvergenz, auf die er sich bezieht, ist ja Konvergenz im Mittel. Dieser Begriff wurde von Ernst Fischer, einem der beiden Väter des Satzes, 1907 im Titel "La convergence en moyenne" seiner in Französisch geschriebenen und in Paris gedruckten kurzen Arbeit geprägt. Und Konvergenz im Mittel bezieht sich auf einen Abstandsbegriff für Funktionen, der durch das Integral des Quadrats der Differenz dieser Funktionen im Lebesgueschen Sinne gemessen wird. Demnach haben zwei Funktionen, deren Graphen sich nur um eine "Fläche" vom Lebesguesschen Maße Null unterscheiden, den Abstand Null voneinander, obwohl ihre Funktionswerte sich an sogar unendlich vielen Stellen unterscheiden können. (Das trifft z.B. auf die konstante Nullfunktion und diejenige "Dirichletsche" Funktion zu, die an allen rationalen Stellen den Wert 1, an den irrationalen den Wert Null hat.) Die Elemente des Hilbertraumes sind also in Wirklichkeit nicht einzelne Funktionen sondern Äquivalenzklassen von Funktionen, die paarweise den soeben beschriebenen Abstand Null voneinander haben, und der Grenzwert einer konvergenten Folge solcher Funktionenklassen ist auch eine solche Klasse, ihr Verlauf also nur in einem gewissen globalen Sinn, aber ein Funktionswert an keiner einzelnen Stelle konkret bestimmbar.

Bei der praktischen Anwendung in der Analysis wird dieser Sachverhalt (nach meiner Erfahrung) meist erfolgreich verdrängt, und das ist möglich, weil man es in der Regel mit nicht allzu wilden Funktionen zu tun hat: Wenn jedes Glied einer Folge einen nichtpathologischen (also z.B. stückweise stetigen) Repräsentanten enthält, denkt man nicht an die unendlich vielen zerfransten Mitglieder der gleichen Klasse und darf obendrein hoffen, dass auch der Grenzwert - von Ausnahmen abgesehen - einen einigermaßen vorstellbaren Repräsentanten besitzt.

E. Fischer

Von den beiden Mathematikern, die den Satz unabhängig voneinander 1907 in den "Comptes rendus" der Pariser Akademie publizierten, war F. Riesz (1880 - 1956) nach dem Studium in Zürich, Budapest und Göttingen ab 1902 an der Univ. Budapest, ab 1911 an der Universität Koloszvar (jetzt Cluj, Rumänien), 1920 nach Szeged verlegt, und ab 1946 wieder in Budapest tätig. Ernst Fischer (1875) begann seine akademische Karriere an der TH Brünn (Brno), war 1911 - 1920 Professor in Erlangen, danach in Köln, bis er 1938 wegen seiner "halbjüdischen" Abstammung vorzeitig in den Ruhestand geschickt wurde.

Übel erging es auch seinem Vornamen: In der oben genannten deutschen Ausgabe des "Riesz-Nagy" ist er als F. Fischer zitiert, und I. Grattan-Guinness benannte ihn im "Dictionary of Scientific Biography" (1970) in seinem Artikel über Riesz in Emil Fischer um. Einen eigenen Artikel bekam er in diesem renommierten biographischen Standardwerk nicht.