Das mathematikhistorische Kalenderblatt - März 2010

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1910: Ernst Steinitz begründet die axiomatische Körpertheorie

Bis zur heutigen axiomatisch-strukturellen Auffassung der Mathematik bedurfte es vieler kleiner Schritte. Ein erster wichtiger Schritt war der etappenweise Übergang zu einer abstrakten, sowohl Zahlbereiche als auch Permutations- bzw. Abbildungsgruppen umfassenden Auffassung des Gruppenbegriffs durch A. Cayley (ab ca. 1854) und H. Weber (ab ca. 1893). Es folgten u.a. die Axiomatisierung der natürlichen Zahlen durch G. Peano 1889, die Axiomatisierung der euklidischen Geometrie durch David Hilbert 1899, wobei auch einiger Vorläufer gedacht werden sollte, und die erste Axiomatisierung der Mengenlehre 1908 durch E. Zermelo.

1910 erschien die umfangreiche “Algebraische Theorie der Körper” von Ernst Steinitz (1871 – 1928), zunächst im Journal für die reine und angewandte Mathematik (Bd. 137, 167 – 309), 1930 separat als Buch, welches noch 1950 in den USA in der deutschen Originalfassung nachgedruckt wurde.

Das Wort “Körper” in der Bedeutung als Bereich von rationalen, reellen oder komplexen Zahlen, der bestimmte Abgeschlossenheitseigenschaften hat, hat wohl zuerst R. Dedekind 1871 anlässlich der Herausgabe der Zahlentheorie von Dirichlet benutzt. Es heißt dort: “Unter einem Körper wollen wir jedes System von unendlich vielen reellen oder complexen Zahlen verstehen, welches in sich so abgeschlossen und vollständig ist, dass die Addition, Subtraction, Multiplication und Division von je zwei dieser Zahlen immer wieder eine Zahl desselben Systems hervorbringt.”

Derartige Zahlenbereiche hatte L. Kronecker schon seit 1853 als “Rationalitätsbereiche” bezeichnet. Den Namen Körper lehnte er ab, da es ihm ausdrücklich auf die algebraischen Beziehungen ankam, wohingegen in den Zahlkörpern Dedekinds immer auch deren Anordnungseigenschaften präsent waren. 1893 schrieb H. Weber in seiner Arbeit “Die allgemeinen Grundlagen der Galoisschen Gleichungslehre”: “Ich beginne, um vollkommen klar zu sein, mit einer genauen Begriffsbestimmung des Gruppen- und Körperbegriffs, wobei besonders der Körperbegriff so gefasst ist, daß er auch auf Gebilde anwendbar ist, die bisher unter diesem Namen nicht mitbezeichnet waren, die aber doch alle für unsere Frage entscheidenden Merkmale besitzen, nämlich die endlichen Körper...."

Alle bisher Genannten hatten sich allerdings nicht von der Vorstellung lösen können, dass die Elemente ihrer Rationalitätsbereiche bzw. Körper konkrete reelle oder komplexe Zahlen bzw. Funktionen sind. Nach Steinitz nun ist ein Körper ein Bereich von beliebigen Dingen, in dem zwei als Addition und Multiplikation bezeichnete Operationen definiert sind, die einer Reihe von - aus dem Rechnen mit rationalen oder reellen Zahlen geläufigen - Axiomen genügen, aus denen sich insbesondere die Existenz der Umkehroperationen Subtraktion und Division ergibt.

Durch diese abstrakte Erklärung wurde zunächst eine gemeinsame Basis u.a. für die von Dedekind angesprochenen Zahlenkörper sowie die aus der Zahlentheorie bereits bekannten endlichen Restklassenbereiche nach einem Primzahlmodul, die Funktionenkörper (deren Elemente durch Quotientenbildung aus Polynomen entstehen) und die kurz zuvor von K. Hensel eingeführten p-adischen Zahlbereiche geschaffen. Sodann entfaltete Steinitz ein ganzes Spektrum körpertheoretischer Begriffe und Sachverhalte, die heute zur Grundausbildung in Algebra gehören: Unterkörper, Primkörper, algebraisch abgeschlossener Körper, einfache und mehrfache algebraische oder transzendente Erweiterung, Separabilität, ... Als Höhepunkt der Arbeit kann man wohl den Beweis betrachten, dass zu jedem Körper K eine minimale (und als solche bis auf Isomorphie bestimmte) Erweiterung existiert, in der alle Polynome mit Koeffizienten aus K vollständig in ein Produkt von Linearfaktoren zerfallen.

Steinitz beschäftigte sich in seiner Körpertheorie auch mit der Frage, unter welchen Bedingungen und auf welche Weise ein Bereich mit zwei Operationen, der noch kein Körper ist, zu einem Körper erweitert werden kann. Die notwendigen Bedingungen werden heute unter dem Begriff “kommutativer nullteilerfreier Ring” zusammengefasst. In diesem Zusammenhang taucht erstmals in der mathematischen Literatur in allgemeiner Form die Erweiterung derartiger Ringe zu ihrem Quotientenkörper auf, deren einfachster Spezialfall in Gestalt der Einführung der rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Brüchen, d.h. mengentheoreisch gesehen, als geordneter Paare ganzer Zahlen, deren zweite Komponente ungleich Null ist, längst in die Schulmathematik eingegangen ist.

Während es Steinitz darum ging, aus den einmal gesetzten Axiomen möglichst umfangreiche Folgerungen für beliebige Körper sowie eine Klassifikation aller möglichen Körper ohne Berücksichtigung der Natur ihrer Elemente zu ziehen, wandte sich eine Gruppe US-amerikanischer Mathematiker um E. H. Moore der Untersuchung der Axiomatik selbst zu, d.h. der Suche nach minimalen Axiomensystemen, dem Beweis ihrer Unabhängigkeit, der Suche nach äquivalenten Begriffs- und Axiomensystemen. All diese Ergebnisse wurden zusammenfassend in dem erstmals 1930 erschienenen und vielfach aufgelegten wie auch übersetzten Lehrbuch “Moderne Algebra” von B. L. van der Waerden präsentiert. Aus heutiger Sicht läutete es eine inzwischen wohl überwundene Epoche ein, in der die Mehrheit der Mathematikstudenten auf Grund des für sie ungenügend motivierten hohen Abstraktionsgrades kaum noch verstehen konnte, wovon die behandelten Begriffe eigentlich handeln und wozu sie dienen.

Literaturhinweise:
K.-H. Schlote: Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert. In: H.-W. Alten u.a.: 4000 Jahre Algebra, Berlin-Heidelberg usw., Springer 2003.
H. Weber: Lehrbuch der Algebra, 2. Aufl., 2 Bände, Braunschweig 1898/99.
H. Wußing: Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffs. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1969. Engl. Übersetzung 1984.
H. Lüneburg: Von Zahlen und Größen, Band 2. Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser 2008.