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Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Januar 2004


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Wann entstand die Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Dieses Gebiet wird heute als eine der praxiswirksamsten Disziplinen der Mathematik anerkannt, zugleich ist es nach wie vor von Laien gefürchtet. Eine Antwort, die von vielen Spezialisten spontan gegeben oder zumindest akzeptiert würde, lautet: Sie begann mit dem Briefwechsel zwischen Blaise Pascal (1623 –1662) und Pierre de Fermat (1607/8 – 1665) im Jahre 1654 über die Lösung einiger Probleme im Zusammenhang mit Glücksspielen. Man kann diese Meinung wie folgt begründen: Zwar gab es schon in der Antike Gedanken über das Wesen des Zufalls und über Möglichkeiten, auch in diesem Bereich etwas zu berechnen. Erwähnenswerte spätere Vorläufer waren vor allem die italienischen Mathematiker Luca Pacioli (um 1445 – 1517)), Geronimo Cardano (1501 – 1576) und Nicolo Tartaglia (1499? – 1557). Sie gingen von Problemen der gerechten Gewinnverteilung bei Glücksspielen aus, konnten aber keine akzeptablen Rechtfertigungen für ihre aus heutiger Sicht teilweise falschen Lösungsvorschläge geben, geschweige denn ein einschlägiges Problem allgemein lösen. Auch der Briefwechsel zwischen Pascal (zu dieser Zeit in Paris) und Fermat (in Toulouse), der leider nur unvollständig erhalten ist, war durch zwei konkrete Aufgaben über Glücksspiele angeregt, die der Chevallier A. G. de Méré (1607 - 1684) Pascal anlässlich einer gemeinsamen Reise vorgelegt hatte.

Blaise Pascal Pierre de Fermat
Bartolomo Manfredi (1580-1620): Kartenspieler. Galerie Alte Meister, Dresden

Das Wort Wahrscheinlichkeit kommt im gesamten Briefwechsel nicht vor. Es geht dort vor allem um Fragen der gerechten Aufteilung des Einsatzes, wenn zwei Personen um das Eintreten eines Ereignisses nach einer Folge mehrerer zufällig eintretender Situationen, z.B. gewürfelte Augenzahlen oder die Ausgänge mehrerer aufeinander folgender Einzelspiele, wetten, aber diese Ereignisfolge vorzeitig abbrechen. Aus heutiger Sicht bilden die möglichen Situationen einen sich verzweigenden Baum, (siehe Grafik), für dessen Endsituationen jeweils vereinbart ist, wer den Spieleinsatz erhält. Die Gewinnchancen beider Spieler verhalten sich wie die mit den jeweiligen relativen Häufigkeiten der Situationen gewichteten Summen der jeweiligen Gewinnsituationen. Bricht man das Spiel vorzeitig ab, so hat man in der gleichen Weise das Spiel zu behandeln, welches sich aus dem Teilbaum der möglichen Folgen der Abbruchsituation ergibt. Aus heutiger Sicht handelt es sich also eher um kombinatorische Probleme der Graphentheorie als der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Wouter Pietersz. Crabeth: Die Falschspieler. Staatliche Museen zu Berlin - Preußischer Kulturbesitz, Gemäldegalerie Berlin

Fermats Antwort auf einen leider nicht erhalten gebliebenen ersten Brief von Pascal beginnt wie folgt:

"Mein Herr, wenn ich versuche, eine bestimmte Augenzahl mit einem einzigen Würfel in acht Würfen zu erreichen [d.h. z.B. eine Sechs spätestens im 8. Wurf], und wir, nachdem das Geld eingesetzt ist, übereinkommen, dass ich den ersten Wurf nicht ausführen werde, dann steht mir nach meinem Prinzip 1/6 des Gesamteinsatzes als Entschädigung zu auf Grund des besagten ersten Wurfes. Wenn wir danach noch übereinkommen, dass ich den zweiten Wurf nicht ausführen werde, muss ich zu meiner Entschädigung ein Sechstel des Restes [des Einsatzes] nehmen, das sind 5/36 [nämlich 1/6 von 5/6] des Gesamteinsatzes [...]"

Insgesamt sind außer diesem Antwortbrief von Fermat drei spätere Briefe von Pascal an Fermat und zwei Antworten Fermats an Pascal über diese Glückspielprobleme erhalten, alle aus dem Zeitraum Juli bis Oktober 1654. Man kann die vier wesentlichen Briefe in deutscher Übersetzung in [Schneider 1989] lesen. (Im Originalwortlaut sind sie in den gesammelten Werken von Pascal bzw. Fermat veröffentlicht.). Aus ihnen geht hervor, dass Pascal sich in diesem neuen Gebiet ohne klare Begriffe anfangs irrte und von Fermat korrigiert wurde, dass Pascal aber danach die überlegeneren kombinatorischen Rechenmethoden entwickelte und dadurch u.a. zu dem nach ihm benannten „Pascalschen Dreieck“ geführt wurde, das die rekursive Bestimmung der Binomialkoeffizienten gestattet. Die darauf bezüglichen Resultate hat Pascal in seiner Schrift „Traité du triangle arithmétique“ (noch 1654 geschrieben, aber erst 1665 publiziert) niedergelegt. Zum Erstaunen von uns heutzutage spricht aus den Briefen Pascals an den wesentlich älteren und in der Mathematik vielseitigeren und bedeutenderen Fermat gelegentlich eine gewisse hochmütige Herablassung, z.B. „Sie werden all dies zweifellos gut verstehen, wenn Sie sich damit ein klein wenig Mühe geben.“ [a.a.O. S. 30] 1660 versuchte Fermat nochmals, einen brieflichen Kontakt zu Pascal herzustellen. Pascal war jedoch zu dieser Zeit nicht mehr an Mathematik interessiert. Er antwortete kurz und ablehnend.

Reinier de la Haye (ca. 1640 - 1695): Tricktrack spielende Offiziere. Staatliche Galerie Dessau, Schloss Georgium Valentin de Boulogne (1594-1632?): Die Falschspieler. Staatliche Kunstsammlungen Dresden, Galerie Alte Meister

1969 hat der ungarische Wahrscheinlichkeitstheoretiker Alfred Renyi (1921 – 1970), der auch noch andere lesenswerte populärwissenschaftliche bzw. belletristische Bücher über mathematisch-naturwissenschaftliche Themen geschrieben hat, ein Bändchen herausgegeben, in dessen Zentrum vier weitere, von Renyi fingierte Briefe Pascals an Fermat stehen. In ihnen und einigen Begleittexten dazu erläuterte er sehr geschickt im Rahmen des im 17. Jh. prinzipiell Möglichen einige Grundprobleme der Stochastik und gab für einen breiten Leserkreis einen Ausblick auf ihre weitere Entwicklung. In diesem Büchlein ging er von der spielerischen Annahme aus, die Briefe seien erst 1966 von einem Prof. Trouverien (d.h. „Findenichts“) in Gerichtsakten aus dem Nachlass Fermats (er war hauptberuflich Richter in Toulouse) gefunden worden.

Literatur:
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