Das mathematikhistorische Kalenderblatt - November 2010

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1910 Der erste Band der „Principia Mathematica” von B. Russell und A. N. Whitehead erscheint

Das 19. Jahrhundert hatte eine solche Fülle neuer mathematischer Begriffe und darauf bezüglicher Theorien hervorgebracht, dass die Frage „Was ist Mathematik?” um 1870 kaum noch eine befriedigende Antwort gestattete. Zur rechten Zeit kam da Georg Cantors Mengenlehre, die – obwohl ursprünglich von ihrem Begründer zu ganz anderen Zwecken in Gang gebracht – sich im Laufe von rund 30 Jahren immer mehr als Möglichkeit erwies, die scheinbar so unterschiedlichen Objekte der verschiedensten mathematischen Disziplinen auf ein einziges Begriffspaar, nämlich Element und Menge, zurückzuführen. An diesem neuen, vereinheitlichenden Bau einer universellen Mathematik haben viele Köpfe mit unterschiedlichsten Ideen, Methoden und Zielen mitgewirkt, wobei Dinge häufig in sozusagen verkehrter Reihenfolge geklärt wurden, zum Beispiel zunächst die komplexen Zahlen als Paare von reellen Zahlen, dann die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte im Bereich der rationalen Zahlen, ... und ganz zum Schluss die natürlichen Zahlen etwa als Kardinalzahlen endlicher Mengen.

Um 1900 wurde der schöne Bau durch die Entdeckung von Antinomien (logischen Widersprüchen) bei unbegrenztem Gebrauch von Mengenbildungen erschüttert. Am einfachsten und daher wohl auch bekanntesten wurde die 1901 von Bertrand Russell publizierte „Russellsche Antinomie” von der Menge aller Mengen die sich nicht selbst als Element enthalten. Es war nun eben dieser Bertrand Russell, der nach einigen Vorarbeiten (The Principles of Mathematics, 1903) gemeinsam mit seinem vormaligen, 11 Jahre älteren akademischen Lehrer Alfred North Whitehead das Mammutwerk unternahm, in einer von Antinomien befreiten neuen Mengenlehre die gesamte damalige (und zukünftige) Mathematik aus einem Guss neu aufzubauen, wobei die vielen Teilresultate zahlreicher Vorläufer so weit wie möglich eingearbeitet wurden. Von diesem Werk erschien der erste Band 1910, der zweite 1912 und der dritte 1913.

Eine zweite Auflage (1925-27) unterschied sich außer durch eine neue ausführliche Einleitung im Wesentlichen nur durch die Berichtigung von Druckfehlern. Die beiden Autoren hatten im Jahre 1900 den so folgenreichen ersten internationalen Philosophiekongress in Paris besucht, wo besonders der Auftritt Guiseppe Peanos einen tiefen Eindruck hinterlassen hatte. Russell hat später diese Begegnung als „den Wendepunkt in seinem Leben” bezeichnet.

Russells antinomiefreie Mengenlehre beruht nach einer nachträglichen Vereinfachung auf einer hierarchischen Stufung der Mengen. Ausgehend von „Urelementen”, d.h. Objekten (der realen Welt?), die selbst keine Mengen sind, werden Mengen erster Stufe nur aus solchen Urelementen, Mengen zweiter Stufe (Mengensysteme) aus Mengen erster Stufe usw. gebildet. So positiv die Gründung dieser Begriffswelt auf die „Urlemente” vom philosophischen und vielleicht auch vom didaktischen Standpunkt ist, so hat sie doch auch ihre Tücken: Um auch nur bis zur Menge aller natürlichen Zahlen zu gelangen, muss man die Existenz unendlich vieler Urelemente voraussetzen, und das ist vom Standpunkt moderner Physik und Kosmologie äußerst problematisch. Spätere stufenfreie axiomatische Systeme der Mengenlehre (z.B. nach Zermelo-Fraenkel oder von-Neumann-Bernays) bewältigten diese Schwierigkeit elegant, indem sie z.B. ausgehend von der leeren Menge ∅ die kleinste Menge (genauer: den Durchschnitt aller Mengen mit der folgenden Eigenschaft) bilden, die ∅ und mit einem beliebigen Element x stets auch x ∪ {x} als Element enthält, aber eine solche abzählbar unendliche Menge passt eben in keine feste Stufe. Hier wird also der ganze Kosmos mathematischer Begriffe unabhängig von einer materiellen Realität erschaffen.

Zu den vielen „Perlen” der insgesamt heute wohl nur noch vom historischen Standpunkt interessanten „Principia” gehört Russells Definition der Endlichkeit von Mengen: Eine Teilmenge einer Menge E ist endlich, wenn sie in allen Mengensystemen als Element vorkommt, die ∅ und mit jeder beliebigen Menge M und jedem e ∈ E auch M ∪ {e} enthalten. Heute kennt man eine kaum übersehbare Vielfalt von einleuchtenden Möglichkeiten, Endlichkeit mengentheoretisch zu definieren, aber man weiß dank vieler Nichtstandardmodelle auch, dass diese Definitionen keinesfalls unter allen Umständen äquivalent sind. Ist bis hier der Eindruck entstanden, dass die „Principia” so etwas wie ein Lehrbuch der Mengenlehre waren, so muss man ergänzen, dass Russell und Whitehead damit gleichzeitig das erste konsistente und umfassende Lehrbuch der mathematischen Logik samt ihrer notwendigen Formelsprache schufen. Im Grunde ist es der Beweis für ihre These, dass Mathematik Mengenlehre und diese nichts als eine andere Sprache für Logik ist.

Zu den Autoren: Bertrand Russell (1872 – 1970) gehörte einem bedeutenden englischen Adelsgeschlecht an. Nach dem in seiner Gesellschaftsschicht damals üblichen häuslichen Privatunterricht, der ihn schon früh mit der Mathematik und ihren philosophisch-methodologischen Problemen in Berührung brachte (Euklid und das Parallelenproblem spielten im britischen Bildungswesen immer eine herausragende Rolle), studierte er am Trinity College in Cambridge und wurde danach dort Fellow und Lecturer, d.h. etwa wissenschaftlicher Mitarbeiter. Seine fortschrittlich-liberale und vor allem pazifistische Haltung führte 1916 zu seiner zeitweiligen Entlassung und sogar zu Gefängnishaft. Finanziell unabhängig, wandte er sich in seinem weiteren Leben immer mehr philosophischen und sozialen Problemen zu und gehörte noch im hohen Alter zu den Leitfiguren der Weltfriedensbewegung.

Alfred North Whitehead (1861 – 1947) stammte aus einer Familie von Lehrern und Geistlichen. Nach dem Studium der Mathematik in Cambridge wurde er dort Fellow und stieg bis zum Senior Lecturer auf. 1810 ging er nach London, wo er 1914 eine Professur für angewandte Mathematik erhielt. 1924 bekam er eine Professur für Philosophie an der Harvard Universität (Cambridge, USA), wo er den Rest seines Lebens verbrachte. Seine Interessen umfassten neben der Mathematik die Geschichte und zunehmend theoretische Physik, Philosophie und vor allem Philosophie der Naturwissenschaften. Während Russell vor allem für die mengentheoretisch-logischen Aspekte der „Principia” verantwortlich ist (den ersten Band verfasste er im Wesentlichen allein und begann erst danach die engere Zusammenarbeit mit Whitehead), kam Whitehead aus der traditionsreichen britischen Schule der symbolischen und formalen Algebra. Die verbreitete bösartige Legende, niemand habe jemals die gesamten „Pricipia Mathematica” gelesen, auch Russell nicht, was Whitehead schrieb, und umgekehrt, ist natürlich erfunden. Sie spiegelt lediglich die Tatsache wider, dass für die Zeitgenossen die vielen neuen bzw. ungewohnten Formeln und Symbole das Studium des Werkes sehr erschwerten. Hilfreich sind die ausführliche Einleitung zur zweiten Auflage, aber auch die provisorischen „Principles of Mathematics“, die es auch in deutscher Übersetzung gibt, sowie die dreibändige Autobiographie Russells, die im ersten Band ebenfalls eine leichter lesbare Einführung in das mathematische Werk enthält.

Vor einigen Monaten wurde ein sehr interessanter Comic veröffentlicht, der auf den „Principia Mathematica“ basiert.