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Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Juni 2008


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1908: Ernst Zermelo publiziert sein Axiomensystem der Mengenlehre

Mathematik gilt allgemein als die vielleicht einzige Wissenschaft, in der das einmal als wahr Erkannte ewig wahr bleibt und in der es auch keinen wesentlichen Meinungsstreit geben kann. Eine Ausnahme bilden die Auseinandersetzungen um die Mengenlehre etwa zwischen 1870 und 1938. (Man könnte sie geradezu als Argument dafür ins Feld führen, dass Mengenlehre zumindest am Anfang eben doch mehr Philosophie als Mathematik war.)


Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871 - 1953)


In der Mitte dieses Zeitraumes hatte sich Ernst Zermelo 1904 zunächst mit dem ersten Beweis des Wohlordnungssatzes zu Wort gemeldet, dem schon 2004 ein Kalenderblatt gewidmet war. Vieles von dem, was dort geschrieben wurde, gehört auch zum Umfeld und Hintergrund unseres jetzigen Themas. Man sollte es noch einmal lesen. Zermelo hatte diesen Beweis auf das Auswahlprinzip gegründet, das einige Mathematiker auch schon vor ihm mehr oder weniger explizit benutzt hatten, das aber zum Beispiel G. Peano ausdrücklich als nicht zu den logischen Prinzipien der Mathematik gehörig bezeichnet hatte.

Auch B. Russell hatte 1903 dieses Prinzip lediglich als eine mögliche Hypothese dargestellt, deren Wahrheit nicht unbestreitbar ist - und die späteren Resultate über Unabhängigkeit und Widerspruchsfreiheit dieser Aussage haben ihm Recht gegeben. 1908 erwiderte Zermelo die zahlreichen Einwände gegen seinen Beweis von 1904 mit einem neuen Beweis. Vermutlich um weitere Diskussionen über unklare Positionen zu vermeiden, stellte er im gleichen Jahr seine sieben Axiome der Mengenlehre vor. Sie bilden mit einigen Präzisierungen und Ergänzungen bis heute den Kern der von der Mehrheit der Mathematiker akzeptierten Form der Mengenlehre. Sie besagen:

1. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.
2. Es gibt eine leere Menge, zu jedem Ding a die Menge, die genau a enthält und zu je zwei Dingen a, b die Menge, die genau aus a und b besteht.
3. Aus jeder Menge M kann man zu einer gegebenen "definiten" Eigenschaft E(x) die Teilmenge derjenigen x gebildet werden, für die E(x) gilt.
4. Zu jeder Menge M existiert die Potenzmenge P(M), d.h. die Menge aller Teilmengen von M.
5. Zu jedem Mengensystem existiert seine Vereinigungsmenge.
6. Zu jeder Menge M paarweise elementfremder und nichtleerer Mengen existiert eine Auswahlmenge, die aus jeder dieser Mengen genau ein Element enthält.
7. Es gibt eine Menge U, die die leere Menge als Element enthält und für die zu jedem Element x auch die einelementige, nur aus x bestehende Menge enthalten ist. (U muss daher mindestens abzählbar unendlich sein. Aufsteigen zu höheren Mächtigkeiten kann man im Rahmen dieser Axiome zunächst nur mittels sukzessiver Potenzmengenbildung.)
Auch hier kamen wieder Einwände von verschiedenen Seiten. Einige davon waren im Grunde durch die nach heutigen Maßstäben recht verbalen Formulierungen Zermelos provoziert. So musste er später u.a. klarstellen, dass die Bezeichnung "auswählen" im 6. Axiom nicht wirklich den Vorgang des gleichzeitigen oder gar sukzessiven Wählens der Elemente ausdrücken soll, sondern dass es sich um die Behauptung einer von vornherein existierenden Menge handelt. (S.u. Bem. 1.) D. Mirimanoff entdeckte 1917, dass die Existenz von unendlich absteigenden Mengenfolgen (... Mn Teilmenge von Mn-1 ...Teilmenge von M0) mit den Axiomen von Zermelo verträglich ist. Dies kann durch ein sogenanntes Fundierungs- oder Regularitätsaxiom behoben werden. A. A. Fraenkel, dem wichtige Ergänzungen und Präzisierungen des Axiomensystems zu verdanken sind, und Th. Skolem formulierten 1922 vier Haupteinwände:
1. Das Unendlichkeitsaxiom ist für verschiedene Zwecke zu schwach. (Seitdem wurde eine nicht abreißende Folge von immer stärkeren Unendlichkeitsaxiomen erdacht.) Dazu sei hier ergänzend bemerkt, dass in Zermelos Mengenlehre alle erforderlichen Objekte Schritt für Schritt aus der leeren Menge erzeugt werden, dass sie also in keiner Weise eine Verbindung zwischen dem "Reich der Mengen" und den darin enthaltenen genetisch erzeugten mathematischen Objekten (z.B. Zahlen aller Art) und der materiellen Realität herstellt oder begründet. Russell war im Gegensatz dazu schon 1903 von unendlich vielen "Urelementen" ausgegangen, d.h. Objekten, die Elemente von Mengen sein können, aber selbst keine Mengen sind. Ob es solche Urelemente tatsächlich in hinreichender Menge gibt, ist nach heutigem Stand der Physik und Kosmologie zweifelhafter denn je.
2. Das Axiomensystem ist nicht kategorisch, d.h. es lässt (viele) untereinander nicht isomorphe Modelle zu. Dieser Einwand stand noch unter dem deutlichen Einfluss des Cantorschen Traumes von einem ein für alle Mal bestimmten aktual existierenden "Reich" aller Mengen. Inzwischen haben wir uns längst an die Fülle von Standard- und Nichtstandardmodellen gewöhnt und können diesen zeitbedingten Einwand kaum noch verstehen.
3. Der im Aussonderungsaxiom verwendete Begriff der "definiten" Eigenschaft war zu vage. Man unterschied zu dieser Zeit schon zwei Arten von Antinomien. Die ersteren werden durch Zulassung "zu großer" Mengen wie z.B. der Menge aller Mengen oder der Menge aller Ordinalzahlen verursacht. Vor ihnen schützt das Zermelosche System durch "vorsichtige" Vergrößerung der erzeugbaren Mächtigkeiten und dadurch, dass durch die Aussonderung nur Teilmengen von schon als existent erkannten Mengen gebildet werden können. Vor der zweiten Sorte, den sogenannten semantischen Antinomien, die durch unzulässige sprachliche Mittel entstehen (zum Beispiel "kleinstes Element einer wohlgeordneten Menge, das nicht durch weniger als 130 Buchstaben beschrieben werden kann") sollte der noch ziemlich vage Begriff "definite" Eigenschaft schützen. Die heute allgemein akzeptierte Präzisierung der für die Mengenbildung bzw. Aussonderung zulässigen Eigenschaften E(x) durch die Prädikatenlogik erster Stufe erfolgte erst durch Th. Skolem.
4. Das Aussonderungsaxiom erwies sich als zu schwach. Hier steuerte Fraenkel selbst die entscheidende Verallgemeinerung in Gestalt des Ersetzbarkeitsaxioms bei: Das Bild einer bereits als existent bekannten Menge bezüglich einer mengentheoretisch definierten Abbildung ist selbst eine Menge. Die ursprüngliche Aussonderung ist darin als Spezialfall enthalten.

Wie mängelbehaftet auch immer dieses erste Axiomensystem der Mengenlehre von 1908 gewesen sein mag, es öffnete die Tür nicht nur zu vielen folgenden Untersuchungen und ihren erstaunlichen Resultaten sondern auch zu einem neuen Verständnis der Mengenlehre - nicht mehr philosophisches Fundament im Sinne Cantors sondern "theoria prima inter pares" (s.u. Bem. 2), wie ich an anderer Stelle formuliert und begründet habe.

Literatur:
A. A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel: Foundations of Set Theory. Amsterdam 1958.
G. Cantor: Gesammelte Abhandlungen, hrsg. von E. Zermelo 1932, Nachdruck Hildesheim 1962.
H.-D. Ebbinghaus: Ernst Zermelo - An Approach to His Life an Work, Springer Verlag 2007.
J. van Heijenoort (Ed.): From Frege to Gödel. Cambridge, MA 1967 (Enthält u.a. einen Nachdruck der hier besprochenen Arbeit Zermelos: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Math. Ann. 65 (1908)).
P. Schreiber: Mengenlehre - Vom Himmel Cantors zur theoria prima inter pares. NTM Zeitschrift für Geschichte u. Ethik der Naturwissenschaften usw. Neue Serie 4 (1996), 129-143.

Bemerkungen
1. In einem Brief an W. Sierpinski, den dieser 1965 in "Cardinal and Ordinal Numbers" zitiert, schrieb Zermelo, dass der Ausdruck "Auswählen" nur die psychologische Methode der Präsentation betrifft, während das Axiom als ein reines Existenzaxiom betrachtet werden sollte. (a.a.O. S. 96)
2. "prima inter pares" meint, dass zwar alle mathematischen Theorien als Teilstücke der Mengenlehre aufgefasst werden können, dass aber zugleich für die Mengenlehre die gleichen Bedingungen gelten wie für jede andere axiomatische Theorie. Insbesondere beschreibt sie nicht eine ausgezeichnete und ein für alle Mal fixierte Struktur. Auch sie ist der Existenz von Nichtstandardmodellen und den typischen metamathematischen Fragestellungen nach Widerspruchsfreiheit, Vollständigkeit, Unabhängigleit usw. unterworfen.