Das mathematikhistorische Kalenderblatt - September 2004

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Zermelos Beweis 1904, dass jede Menge eine Wohlordnung besitzt

Ernst Zermelo (1871 - 1953) war ein den Anwendungen der Mathematik sehr zugeneigter und auf diesem Gebiet auch erfolgreicher Mathematiker. Umso erstaunlicher ist es aus heutiger Sicht, dass einer der wichtigsten Anstöße zu den auf seinen Wohlordnungssatz folgenden ausgedehnten Grundlagenuntersuchungen über Mengenlehre und mathematische Logik gerade von ihm kam. Worum geht es?

1. Die Mengenlehre als allgemeiner Begriffsrahmen der modernen Mathematik, wie man ihn heute schon in der Schuile lernt, wurde seit 1872 schrittweise und teilweise im Gedankenaustausch mit anderen Mathematikern von dem Hallenser Professor Georg Cantor (1845 - 1918) entwickelt. Die entsprechenden Begriffe, Sätze und Beweise stützten sich anfangs auf eine sozusagen philosophische Vorstellung von der Möglichkeit, beliebige Dinge, die sich durch eine gemeinsame Eigenschaft beschreiben lassen, in Gedanken zu einer Gesamtheit, einer "Menge" zusammenzufassen, wobei diese Menge Element weiterer Mengen sein kann. Die Entdeckung logischer Widersprüche seit 1897 durch die ungezügelte Bildung von Mengen wie z.B. "Menge aller Mengen" oder "Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten" mahnte die Mathematiker einerseits zur Vorsicht. Andererseits wollten sie sich das neu erschlossene Werkzeug Mengenlehre nicht wieder nehmen lassen. Die Lösung sollte schließlich in axiomatischen Beschreibungen von genügend reichhaltigen "Universen" von Mengen bestehen, so dass die Axiome die Bildung widersprüchlicher Mengen nicht gestatten und ihre Widerspruchsfreiheit womöglich sogar beweisbar ist. Die erste, noch unvollkommene Axiomatisierung gab Zermelo 1908 im Zusammenhnag mit einem zweiten Beweis für das in unserem Titel genannte Resultat an.

2. Die bekannte Methode der vollständigen Induktion, Sätze über alle natürlichen Zahlen (eventuell oberhalb einer gewissen Anfangszahl n*) und folglich auch für Mengen, deren Elemente umkehrbar eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet werden können ("abzählbare Mengen") zu beweisen, beruht darauf, dass jede nichtleere Menge von natürlichen Zahlen ein kleinstes Element besitzt. Hat man also gezeigt, dass eine Eigenschaft für eine Anfangszahl n* zutrifft und aus ihrer Gültigkeit für eine beliebige Zahl n die Gültigkeit für die Zahl n+1 folgt, so führt die Annahme, es gebe Zahlen > n*, für die der Satz nicht gilt, auf einen Widerspruch: Es müsste dann eine kleinste solche Zahl n geben. Für n-1 gilt daher die Behauptung, also auch für n. Will man dieses Beweisprinzip auf überabzählbare Mengen übertragen, so muss man voraussetzen, dass auch diese so geordnet werden können, dass jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Eine solche Ordnung nennt man Wohlordnung. Den Begriff Wohlordnung hat Cantor anscheinend erstmals 1882 in einem Brief an den schwedischen Mathematiker Gösta Mittag-Leffler geprägt [2], S. 100.

3. Zermelo beweist 1904 [1], dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Freilich lässt sich eine solche Wohlordnung im Allgemeinen nicht konkret angeben. Immer dann, wenn dies möglich ist, braucht man den Zermeloschen Satz ja gar nicht. Er ist also eine reine Existenzaussage - im Gegensatz zu solchen Existenzbehauptungen, wie man sie zum Beispiel aus der Geometrie kennt, wo der Beweis durch Angabe eines Verfahrens geführt wird, mit dem man sich das behauptete Objekt verschaffen kann. Damit ist schon klar, dass Zermelo für seinen Beweis eine Voraussetzung benutzen musste, die ihrerseits nicht "konstruktiv" ist, d.h. die etwas als existent behauptet, was man sich nicht immer tatsächlich verschaffen kann. Diese Voraussetzung war die scheinbar plausible Annahme, es gebe zu jeder Familie von Mengen mit paarweise leerem Durchschnitt eine Auswahlmenge, die aus jeder dieser Mengen genau ein Element enthält. In Wahrheit hat Zermelo also nicht bewiesen, dass jede Menge eine Wohlordnung besitzt, sondern er hat bewiesen, dass die Existenz der Wohlordnung eine logische Folge aus dem eben formulierten "Auswahlaxiom" ist. Es ist mühelos zu sehen, dass die Umkehrung auch gilt: Wenn jede Menge eine Wohlordnung besitzt, und eine Mengenfamilie, d.h. eine Menge von elementefremden Mengen gegeben ist, so bilde man die Vereinigung dieser Familie. Sie besitzt eine Wohlordnung. Man nehme nun aus jeder Menge der Familie das kleinste Element und hat eine Auswahlmenge.

4. Wohlordnungssatz und Auswahlaxiom sind demnach logisch gleichwertige Voraussetzungen über etwas, was sich unserer Erfahrung entzieht, weil es so ungeheuer allgemein ist und auch Mengen betrifft, die nur in unseren Gedanken existieren können. Bildet man zum Beispiel von einer schon unendlichen Anfangsmenge (etwa der der natürlichen Zahlen) die Menge aller Teilmengen, von dieser wieder die Menge aller Teilmengen und so fort, so erhält man Mengen von unvorstellbarer Größe, die keiner physikalischen Realität entsprechen. Vielleicht erscheint das Auswahlaxiom zunächst plausibler, "glaubwürdiger" als der Wohlordnungssatz, der nun durch Zermelos Beweis genauso glaubwürdig wird. Das Problem ist aber, dass das Auswahlaxiom auch sehr paradoxe - wenngleich nachweislich nicht widersprüchliche - logische Schlussfolgerungen zulässt. Seine Glaubwürdigkeit wird dadurch stark erschüttert. Und mit ihr auch die Glaubwürdigkeit des Wohlordnungssatzes.

Die überwältigende Mehrheit der Mathematiker ist heute mit sehr realen und praktischen Problemen und Dingen beschäftigt. Sie können sich kaum noch vorstellen, dass es etwa zwischen 1900 und 1965 eine Periode gegeben hat, in der derartige Probleme wie das oben beschriebene mit an der Front der mathematischen Forschung standen. Zermelos Satz von 1904 steht am Beginn dieser Periode, in der schließlich abstrakte Sachverhalte von großer Schwierigkeit nahezu restlos aufgeklärt wurden. Einige dieser Resultate gehören zum Größten, was menschlicher Geist bisher leisten konnte. Zum Beispiel wurde bewiesen, dass man sowohl das Auswahlaxiom als auch seine Verneinung den übrigen Axiomen der Mengenlehre, soweit diese widerspruchsfrei sind, widerspruchsfrei hinzufügen kann. An die Stelle des oben verwendeten etwas verschwommenen Begriffes "Glaubwürdigkeit" trat also die Erkenntnis, dass es unserem Belieben anheim gestellt ist, das Auswahlaxiom (und damit auch den Wohlordnungssatz) anzunehmen oder abzulehnen. Sofern im konkreten Fall eine Auswahlmenge oder eine Wohlordnung konkret angegeben, konstruiert werden kann, werden diese Axiome als Beweismittel nicht benötigt. In allen anderen Fällen sagen sie nichts über reale Verhältnisse aus. Die Möglichkeit, sie zu formulieren, ist lediglich eine Eigenschaft der "Sprache" Mengenlehre, in ähnlicher Weise, wie man auch in natürlichen Sprachen mit Begriffen, die jeder für sich Realität abbilden, Märchen erzählen kann. Mit derartigem Wissen über die logischen Grundlagen ihres Begriffssystems im Hintergrund konnten die Mathematiker sich beruhigt (??) wieder ihren Tagesaufgaben zuwenden.

Literatur:

[1] Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Mathematische Annalen, Bd. 59, 514-516. Die relative Naivität, mit der die Probleme anfangs behandelt wurden, spiegelt sich auch in diesem Titel: Der Haken ist doch, dass man eben im Allgemeinen nicht "kann", sondern man darf höchstens voraussetzen, dass es eine solche Wohlordnung gibt. [2] Georg Cantor, Briefe, herausgegeben von H. Meschkowski und W. Nilson, Springer 1991. Zur weiteren Information: P. Schreiber: Mengenlehre - Vom Himmel Cantors zur theoria prima inter pares. NTM Internat. Zeitschrift für Geschichte und Ethik der Naturwissensch., Technik und Medizin, Neue Serie Bd. 4 (1996), 129 - 143. Derselbe: Ein Blick zurück auf das 20. Jahrhundert. Gleiche Zeitschrift Bd. 10 (2002), 40 - 48. Zum Leben und den sonstigen Leistungen Zermelos: Lexikon bedeutender Mathematiker, hrsg. von Gottwald, Ilgauds, Schlote. Leipzig 1990 (Neuausgabe in Vorbereitung) und dort angegebene Literatur. Ausführlicher in Dictionary of Scientific Biography, ed. by Ch. Gillispie, New York 1970ff..

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