Algebra

Ursprünglich befasste sich die Algebra mit dem Lösen algebraischer Gleichungen, d.h. der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen mit rationalen oder ganzzahligen Koeffizienten. In diesem Zusammenhang mussten immer neue Möglichkeiten entwickelt werden, was unter anderem auch zur Einführung der imaginären Zahlen führte. Wenn man z.B. die Nullstellen der Gleichung x²+1=0 bestimmen will, reichen die reellen Zahlen nicht mehr aus, da das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv (oder Null) ist und man nie auf Null kommt, wenn man zu einer nicht-negativen Zahl eins addiert. Durch die Einführung der komplexen Zahlen, die sich aus reellen und imaginären Zahlen zusammensetzen, und der Hilfe der Analysis war es dann auch möglich den Fundamentalsatz der Algebra zu beweisen. Er besagt, dass in den komplexen Zahlen jede Gleichung in Linearfaktoren zerfällt, d.h. die Anzahl der Nullstellen mit dem Grad der Gleichung übereinstimmt. Auch versuchte man allgemeine Lösungen durch Radikale, was einfach verschachtelte Wurzelausdrücke sind, für Gleichungen zu finden. Jedem dürfte noch aus der Schule die pq-Formel ein Begriff sein, die einem eine Berechnungsvorschrift zum Lösen quadratischer Gleichungen liefert. Gleichartige Formeln wurden auch zum Lösen von Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden. Eines der interessantesten Ergebnisse der Algebra jedoch ist es, dass es unmöglich ist allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen höheren Grades (Grad > 4) zu finden.

Al-Hwarizmi	Leonardo Fibonacci	Niccolo Tartaglia	Geronimo Cardano	Isaac Newton

Auch konnten mit Hilfe der Algebra drei der ältesten Probleme gelöst werden, mit denen sich die Mathematiker schon seit langer Zeit befasst hatten:
1. Das Delische Problem: Gegeben sei ein Würfel mit Kantenlänge 1. Ist es möglich mit Zirkel und Lineal die Kantenlänge a= eines Würfels mit doppeltem Volumen zu konstruieren?
2. Die Quadratur des Kreises: Ist es möglich mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt, wie der eines Kreises mit Radius 1 zu konstruieren?
3. Die Winkeldreiteilung: Gegeben sei ein beliebiger Winkel. Ist es möglich, mit Zirkel und Lineal diesen Winkel in drei gleichgroße Winkel zu zerlegen?
Alle diese Fragen konnten negativ beantwortet werden. Somit ist z.B. bewiesen, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist, auch wenn es bis heute noch Leute gibt, die das nicht glauben wollen.
Inzwischen befasst sich die Algebra jedoch nicht mehr nur damit Lösungen algebraischer Gleichungen zu finden, sondern mit der Theorie der Verknüpfungen auf einer Menge. (Eine Beschreibung, was das genau ist finden Sie auf dem Link. Dort werden auch wichtige Eigenschaften von Verknüpfungen, wie Kommutativität, u.a. erklärt.) Eine derartige Struktur einer Menge mit einer Verknüpfung nennt sich dann algebraische Struktur. Mit Hinzunahme besonderer Anforderungen an diese algebraischen Strukturen kommt man zu Begriffen wie Gruppe, Körper oder Vektorraum, deren Untersuchungen ein wichtiges Teilgebiet der Algebra bilden. Durch die Bildung unterschiedlicher Strukturen lässt sich auch die Algebra in verschiedene Teilgebiete unterteilen:
Die lineare Algebra behandelt vorwiegend die Theorie der Vektorräume über Körpern, die Körpertheorie, wie der Name schon sagt, die Theorie allgemeiner Körper und Körpererweiterungen, die Gruppentheorie und daneben gibt es noch weitere Bereiche (z.B. Ringtheorie, homologische Algebra, ...). Auch wird die Algebra in vielen anderen Gebieten eingebunden. In der Logik (Boolesche Algebra) oder der Zahlentheorie spielt sie eine wichtige Rolle.

Leonhard Euler	C.F. Gauss	Niels H. Abel	Evariste Galois	Enrico Betti

Dass die Aufgabe der Algebra ursprünglich im Lösen von Gleichungen bestand, steckt schon in ihrem Namen, der aus dem Werk al-kitab al-muhtasir fi hisab al-gabr wa-l-muqabala (Das kurzgefasste Buch über Rechnen mit Ergänzen und Zusammenfassen von Ausdrücken) von dem arabischen Gelehrten al-Hwarizmi (ca. 780-850) aus dem 9. Jahrhundert stammt. Aus dem Ausdruck al-gabr im Titel wurde später Algebra. Sich mit algebraischen Problemen zu befassen wurde jedoch schon im alten Ägypten und bei den Griechen begonnen. Die meisten algebraischen Methoden entstanden hierbei aus einem geometrischen Hintergrund (siehe Die Quadratur des Kreises). Weiterentwickelt wurde die Theorie dann zunächst hauptsächlich in China, Indien und der arabischen Welt, und erst im Mittelalter beschäftigte man sich in Europa wieder mit der Algebra. Hier ist als wichtigster Vertreter Leonardo von Pisa (ca. 1170-1250), der auch unter dem Namen Leonardo Fibonacci bekannt ist, zu nennen. Im 16. Jahrhundert fand Niccolo Tartaglia (1499-1557) dann die heute unter dem Namen Cardanosche Formel bekannte Lösung für Gleichungen dritten Grades und Ludovico Ferrari (1522-1569) die für Gleichungen vierten Grades. Auch Isaac Newton (1643-1727) und Leonard Euler (1707-1783) leisteten wichtige Arbeiten. Für den bis dato unbewiesenen Fundamentalsatz lieferte Carl-Friedrich Gauß (1777-1855) gleich vier voneinander unabhängige Beweise, deren erster aus dem Jahre 1799 Gegenstand seiner Dissertation war. Im Jahre 1824 war es Niels Henrik Abel (1802-1829), der beweisen konnte, dass Gleichungen fünften Grades nicht durch Radikale gelöst werden können. Den bedeutendsten Beitrag des 19. Jahrhundert zur Weiterentwicklung lieferte jedoch Evariste Galois (1811-1832) durch die systematische Entwicklung einer Theorie, die heute unter dem Namen Galois-Theorie bekannt ist. Mit Hilfe dieser Theorie war es nun einfach zu beweisen, dass generell Gleichungen höheren als vierten Grades nicht durch Radikale lösbar sind. Dies ist auch Enrico Betti (1823-1892) zu verdanken ist, der ab 1851 eine erste Präzisierung der Galois-Theorie mit einer Vervollständigung der Beweise präsentierte, da dies Galois aufgrund seiner kurzen Lebenszeit nicht möglich war.

Die deutlich sichtbarsten Anwendungen der Algebra liegen in der Informationsverschlüsselung. Jede Scheckkarte, die Sie benutzen, jede CD, die Sie hören, funktioniert nur mit Hilfe von Algebra in Kombination mit Zahlentheorie. Hier werden Informationen codiert und auf der Karte oder CD gespeichert, die dann mit geeigneten Geräten abgefragt werden und z.B. in wahrnehmbare Musik umgewandelt werden können. Dafür ist es jedoch nicht nur nötig, die Information zu verschlüsseln und später wieder abzurufen (entschlüsseln), sondern es muss auch möglichen Fehlern vorgebeugt werden. Die Entschlüsselung muss also sicher sein. Wenn der Scanner an der Kasse im Supermarkt den Strichcode zufällig falsch liest, sollte nicht plötzlich der Preis für ein anderes Produkt erscheinen, sondern zumindest eine Fehlermeldung. Ebenso läuft es bei CD's, die ja nicht unbedingt bei jedem winzigen Staubkörnchen ihre Wiedergabe abbrechen sollten, sondern nach Möglichkeit sich selbst überprüfen und eventuelle Probleme bereinigen können.

Interview mit Prof. Altmann

Beschreiben Sie bitte kurz das Gebiet der Algebra.
Grundlegend behandelt die Algebra die Lösung von polynomialen Gleichungssystemen. Weitergehend beinhaltet sie das Studium von Mengen mit zusätzlichen Strukturen.

Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
In der damaligen DDR gab es in der 11. und 12. Klasse das Unterrichtsfach wissenschaftlich-fachliche Arbeit, in dem man die Möglichkeit bekam, in akademischen Instituten die dortige Arbeit kennen zu lernen und an ihr mitzuarbeiten. Mein damaliger Betreuer arbeitete an der Akademie der Wissenschaften im Bereich Algebra, und durch die dortige Arbeit wurde mein Interesse besonders geweckt. Als ich dann an die Universität kam, stand für mich recht schnell fest, dass in der Mathematik die Algebra das für mich interessanteste Gebiet ist.

Was fasziniert Sie an diesem Gebiet?
Das für mich Faszinierendste an der reinen Mathematik im Allgemeinen (somit auch der Algebra) ist die Tatsache, dass gewisse Strukturen bereits vorhanden sind und man sie als Mathematiker entdeckt und nicht, wie viele glauben, erfindet. Auch ist die Mathematik für mich Teil der Kultur und sollte deshalb gefördert werden.

Wo liegen die Anwendungsmöglichkeiten in Ihrem Gebiet?
Die wichtigsten praktischen Anwendungen der Algebra liegen zurzeit in der Kryptographie und der Codierungstheorie. Innermathematisch finden sich Anwendungen in der Geometrie und der Zahlentheorie.

Was gibt es für Aussichten (Berufschancen)?
Aus eigener Erfahrung weiß ich, dass es in großen Unternehmen eigene Abteilungen gibt, in denen an der Informationsverschlüsselung gearbeitet wird. Diese Arbeit kommt ursprünglich aus dem Militärischen, ist heutzutage jedoch aus dem alltäglichen Leben nicht mehr wegzudenken, denken Sie nur an Scheckkarten und Ähnliches. Um die dafür notwendigen Algorithmen auf Sicherheit überprüfen zu können, ist eine sehr gute Kenntnis der algebraischen Geometrie eine wesentliche Voraussetzung. Auch zur Herstellung von z.B. CD-Playern wird Algebra (Codierungstheorie) benötigt.

Woran arbeiten Sie zurzeit?
Zum einen bin ich mit der Gründung eines Sonderforschungsbereichs beschäftigt, welcher der Zusammenarbeit der Themengebiete Differentialgleichungen, Physik und algebraische Geometrie dienen soll. Außerdem arbeite ich derzeit an dem Themengebiet der Mirrorsymmetrie und der Deformationstheorie algebraischer Varietäten.

Arbeiten Sie normalerweise allein oder in Teams?
Die tägliche Arbeit ist im Grunde schon Einzelarbeit, hier im Institut oder zu Hause, jedoch stehe ich in ständigem Kontakt (e-mail, Tagungen) mit Kollegen.

Was war für Sie das bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker der Algebra?
Das für mich faszinierendste Ergebnis war sicherlich die Lösung des Fermatschen Problems von Andrew Wiles. Der meiner Meinung nach größte Mathematiker auf dem Gebiet der Algebra war wohl Gauß.

Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:

G. Cardano
L. Euler
N.H. Abel
E. Galois