Analysis
Die Analysis ist ein zentrales Thema der Mathematik. Sie beschäftigt sich in erster Linie mit der Differential- und Integralrechnung. Um die Theorie systematisch studieren zu können, muss man sich jedoch zunächst über Begriffe wie Zahlen, Funktionen, Reihen und Potenzreihen die beiden wichtigsten Begriffe Grenzwert und Stetigkeit erschließen. Der Grenzwertbegriff ermöglicht es davon zu sprechen, dass sich gewisse Dinge (z.B. Funktionswerte) beliebig genau annähern und der Stetigkeitsbegriff bedeutet, dass es in der betrachteten Funktion keine großen Sprünge gibt. Messen Sie beispielsweise die Temperatur, so ist es nicht möglich, dass es von einer Sekunde zur anderen plötzlich einen Unterschied von mehreren Grad gibt. Die Temperatur verändert sich stetig. Hat man sich diese Begriffe erst einmal erarbeitet, so kommt man zur Differential- und Integralrechnung. In der Differentialrechnung geht es vornehmlich um die Berechnung der Ableitung (Steigung) einer Funktion. Beschreibt eine Funktion z.B. die Bewegung eines Massepunktes (also die zurückgelegte Strecke in einer bestimmten Zeiteinheit), so gibt die Ableitung dessen Geschwindigkeit an. Die Integralrechnung beschäftigt sich mit der Flächen- bzw. Volumenberechnung, auch unter krummlinigen Kurven (beispielsweise die Fläche eines Teiches). In der Theorie gelangt man schließlich zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der besagt, dass Integrale über Stammfunktionen ausgerechnet werden können, und der somit die beiden, zunächst unabhängig voneinander entwickelten Theorien miteinander verbindet.
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| Archimedes | Galileo Galilei | G.W. Leibniz | Isaac Newton | J.L. Lagrange |
Historisch gesehen gehen die Anfänge der Analysis schon auf die Griechen (Eudoxos von Knidos 408-355 v.Chr. , Archimedes von Syrakus 287-212 v.Chr.) zurück. Auch Galileo Galilei (1564-1642), der den Zusammenhang zwischen Ableitung und Geschwindigkeit erkannte, lieferte Vorarbeiten. Die richtige Infinitesimalrechnung, wie sie ursprünglich hieß, wurde jedoch im 17. Jahrhundert unabhängig voneinander von G.W. Leibniz (1646-1716) und I. Newton (1643-1727) begründet. Newton erschloss mit ihrer Hilfe durch seine 1687 erschienenen Principia ein gewaltiges Anwendungsfeld, die heute so genannte Newtonsche Mechanik. Im Laufe der Zeit wurde die Analysis dann ohne wirklich gesicherte Grundlagen weiterentwickelt, und erst im 19. Jahrundert konnte in einer Art und Weise gearbeitet werden, wie es den heutigen Standards entspricht. Denn erst seit dieser Zeit sind Begriffe wie Zahl, Funktion, Grenzwert oder Integral präzise geklärt. In diesem Prozess spielten L. Lagrange (1736-1813), A. Cauchy (1789-1857) und C.F. Gauß (1777-1855) eine große Rolle. Auch B. Bolzano (1781-1848) und R. Dedekind (1831-1916), der durch seine Arbeit wesentlich dazu beitrug, den Begriff der irrationalen Zahlen zu klären, sollten erwähnt sein. In der Integrationstheorie taten sich besonders G.F.B. Riemann (1826-1866) durch die Einführung des so genannten Riemann-Integrals und H. Lebesgue (1875-1941) mit seiner Weiterentwicklung durch den neuen Ansatz des Lebesgue-Integrals hervor.
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| A.L. Cauchy | C.F. Gauß | B. Bolzano | R. Dedekind | B. Riemann | H. Lebesgue |
Die mathematischen Anwendungen der Analysis sind immens. Gebiete wie Differentialgleichungen (gewöhnliche und partielle), Integralgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, Funktionalanalysis, Differentialgeometrie und viele mehr basieren grundlegend auf den Konzepten der Analysis. Besondere Anwendungen findet man auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie (Stochastik) und den Naturwissenschaften, insbesondere in der Physik. Auch in der Technik, der Informatik oder den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften geht es heutzutage ohne Analysis nicht mehr. Egal, ob Sie das Gewinnmaximum eines Unternehmens oder die Geschwindigkeit beim freien Fall, die materialsparsamste Möglichkeit, eine Getränkedose herzustellen oder die Berücksichtigung statischer Probleme beim Bau einer Brücke berechnen wollen, ohne die Differential- und Integralrechnung werden Sie nicht weit kommen. Daher gehört die Analysis, wo auch immer auf der Welt jemand Mathematik studieren will, zu den ersten Pflichtvorlesungen.
Interview mit Prof. Begehr
Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
Schon in der Schule wurde der Schwerpunkt eher auf die Analysis gelegt (Differential- und Integralrechnung).
Daher hatte ich schon von Beginn an einen stärkeren Bezug zu diesem Gebiet.
Als ich an die Universität kam, war diese Richtung auch sehr gut vertreten und ich fand heraus,
dass mir die Analysis mehr lag als beispielsweise die Algebra.
Seitdem arbeite ich in diesem Gebiet.
Was fasziniert Sie an diesem Gebiet?
Faszinierend für mich ist im Besonderen die analytische Arbeitsweise.
Oft ergeben sich große, lange Formeln, welche sich über Seiten erstrecken, man erhält jedoch am Ende häufig ein sehr einfaches Ergebnis.
Was sind die Anwendungen, wofür kann man es gebrauchen?
Die Analysis ist ein wesentliches Werkzeug für jeden Ingenieur und Physiker.
Auch in der Architektur und der Statik können viele Probleme nur mit Hilfe der Analysis gelöst werden.
Was sind die Aussichten in diesem Gebiet (Berufschancen)?
Allgemein kann ich sagen, dass Mathematiker im Grunde überall gut ankommen,
da sie unabhängig von ihrer speziellen Ausbildung eine gute Denk- und Arbeitsweise erlernen und nicht nur Methoden.
Welches ist ihrer Meinung nach das bedeutendste Ergebnis der Analysis, wer ihr bedeutendster Mathematiker?
Mit am Faszinierendsten ist sicherlich die Riemannsche Vermutung (Nullstellen der Zetafunktion), da diese,
wenn sie bewiesen wird, große Auswirkungen auf viele Bereiche der Mathematik hätte.
Heutzutage sind als bedeutende Mathematiker in diesem Gebiet sicherlich Arnold und dessen russische Kollegen zu nennen.
Allerdings ist es sehr schwer sich in der Geschichte der Analysis auf einen besonderen Mathematiker festzulegen.
Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:
