Funktionalanalysis

Die Grundidee der Funktionalanalysis ist, Folgen und Funktionen als Punkte in einem Raum zu interpretieren und Probleme der Analysis für Abbildungen zwischen solchen Räumen zu studieren. Dabei zeichnet sich die Funktionalanalysis durch das Zusammenspiel von algebraischen und analytischen Eigenschaften dieser Räume aus. Insbesondere werden Eigenschaften von sog. "Banachräumen" untersucht, das sind Mengen, die in vielerlei Hinsicht eine ähnliche Struktur wie die reellen Zahlen haben: Man kann ihre Elemente addieren und mit einer reellen Zahl multiplizieren, die grundlegenden Rechengesetze gelten, der Abstand zwischen je zwei Elementen ist erklärt und der Raum hat in einem gewissen Sinn keine Lücken, man sagt, er ist "vollständig".

V. Volterra	S. Pincherle	G. Peano	I. Fredholm	D. Hilbert

Die Funktionalanalysis entwickelte sich aus dem Studium von Integralgleichungen. V. Volterra (1860-1940) betrachtete 1887 von ihm sog. "funzioni delle linee", Funktionen, deren Argumente nicht einfache Zahlen, sondern andere Funktionen waren, und definierte und untersuchte die analytischen Eigenschaften solcher Funktionen (Stetigkeit, Differenzierbarkeit, etc.) im Rahmen von bestimmten Integralgleichungen.
Die Idee, Funktionen als Punkte aufzufassen, ist S. Pincherle (1853-1936) zuzuschreiben. G. Peano (1858-1932) axiomatisierte erstmals die algebraischen Eigenschaften, die man von einem "schönen" Funktionenraum erwartet. I. Fredholm (1866-1922) untersuchte ebenfalls Integralgleichungen und hatte großen Erfolg damit, sie gewissermaßen als unendliche lineare Gleichungssysteme aufzufassen. Auch D. Hilbert (1862-1943) untersuchte Integralgleichungen, bedeutender aber sind seine Untersuchungen eines heute l² genannten Folgenraumes. Räume, in denen man wie in diesem auch über "Winkel" sprechen kann, tragen heute Hilberts Namen, sie werden "Hilberträume" genannt. Hilberts Schüler E. Schmidt (1876-1959) interpretierte Hilberts Resultate von einem neuen, geometrischen Standpunkt aus, er sprach erstmals im Kontext der Funktionalanalysis von "Orthogonalität". F. Riesz (1880-1956) gelang es, durch Einführung des bis heute verwendeten Begriffs "Operator" die Dinge nochmals transparenter darzustellen. Aufbauend auf Arbeiten von Hilbert und Schmidt hat sich der Begriff des Banachraumes im heutigen Sinne Anfang der 20er Jahre des letzten Jahrhunderts herausgebildet. Zu nennen sind hier E. Helly (1884-1943), H. Hahn (1879-1943) und natürlich S. Banach (1892-1945).

E. Schmidt	F. Riesz	E. Helly	H. Hahn	S. Banach

Im alltäglichen Leben gibt es eher keine Berührungspunkte mit der Funktionalanalysis. Jedoch spielen funktionalanalytische Methoden in vielen Teilen der Mathematik eine wichtige Rolle, da sich das Konzept, Funktionen als Punkte in einem geeigneten Raum aufzufassen, als sehr fruchtbar erwiesen hat. Zu nennen wären etwa Differentialgleichungen, Numerik und Warscheinlichkeitstheorie. Auch in der theoretischen Physik ist die Funktionalanalysis von großer Wichtigkeit, viele physikalische Probleme führen auf Gleichungen, die mit funktionalanalytischen Methoden gelöst werden können.

Interview mit Prof. Werner

Beschreiben Sie bitte kurz das Gebiet der Funktionalanalysis.
Es gibt eine Analogie: Wenn Sie ein Konzert besuchen, ist das Klavier, das Sie sehen, dreidimensional, die Musik aber ist unendlichdimensional. Genauso verhält es sich mit der Funktionalanalysis, sie beschäftigt sich mit unendlichdimensionalen Räumen und behandelt, von Ideen der klassischen Analysis ausgehend, Probleme in diesen Räumen, deren Elemente meist Funktionen sind. Inhalt der linearen Funktionalanalysis ist die Untersuchung unendlichdimensionaler Vektorräume und linearer Abbildungen zwischen ihnen. In der nichtlinearen Funktionalanalysis wird alles noch etwas komplizierter.

Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
Wie die meisten durch Zufall. Nach dem Vordiplom kam ich an die FU Berlin und besuchte unter anderem die Funktionalanalysisvorlesung von E. Behrends, welche ich am interessantesten fand.

Seit wann arbeiten Sie darin?
Seit 25 Jahren.

Was fasziniert Sie an diesem Gebiet?
Manche Gebiete interessieren einen mehr, andere weniger. Entscheidend dabei ist aber auch immer die Art der Vermittlung.
Was mich speziell an der Funktionalanalysis fasziniert, ist, dass aus wenigen Grundannahmen Prinzipien hergeleitet werden können, die grundlegend für andere Gebiete sind, wie z.B. Numerik, Wahrscheinlichkeitstheorie, etc. Weiterhin begeistert mich die Eleganz der Theorie, die zwar in vielen Gebieten vorhanden ist, aber mir in der Funktionalanalysis zuerst auffiel.
Dabei geblieben bin ich, weil es sich mir nach wie vor als das interessanteste Gebiet darstellt, zudem wurde ich von Anfang an in einer freundschaftlichen Atmosphäre gefordert und gefördert.

Wo liegen die Anwendungsmöglichkeiten in Ihrem Gebiet?
Die Anwendungen der Funktionalanalysis liegen eher im innermathematischen Bereich. Oftmals können aber Probleme der Anwendung durch Differentialgleichungen modelliert werden, die man mit funktionalanalytischen Methoden löst. Im Ganzen ist die Funktionalanalysis im täglichen Leben eher unsichtbar.

Was gibt es für Aussichten (Berufschancen)?
Eine Diplomarbeit im Fach Funktionalanalysis qualifiziert einen nicht mehr oder weniger als in einem anderen Gebiet der Mathematik. Es ist die mathematische Denkweise im Allgemeinen, die gefragt ist, z.B. Probleme in Teilprobleme zu zerlegen und die Lösungen wieder zusammenzusetzen.

Woran arbeiten Sie zurzeit?
Mein derzeitiges Steckenpferd sind gewisse Implikationen, die Normgleichungen für Operatoren nach sich ziehen. Diese wurden vor 40 Jahren erstmals vom sowjetischen Mathematiker I.K. Daugavet untersucht. Damit beschäftige ich mich seit sechs Jahren; diese Untersuchungen bilden das Gegenstück zu meiner bisherigen Arbeit.

Arbeiten Sie normalerweise allein oder in Teams?
Ich bin nicht der Mensch, der zusammen mit anderen an einem Tisch über einem Problem brütet, jedoch entstehen die Ideen aus einem Wechselspiel mit meinen Co-Autoren.

Was war für Sie das bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker der Funktionalanalysis?
In den letzten 20 Jahren gab es verschiedene spektakuläre Ergebnisse. Zu nennen wäre einerseits Gilles Pisier und andererseits Tim Gowers, der 1998 die Fields-Medaille dafür erhielt, dass er viele Probleme gelöst hatte, von denen man lange nicht wusste, wie man sie angehen sollte.

Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:

G. Peano
D. Hilbert