Funktionentheorie

Die Funktionentheorie ist ein weiterführendes Gebiet der Analysis, welches sich mit Funktionen einer oder mehrerer komplexer Veränderlicher beschäftigt.
Um diese Theorie studieren zu können, müssen zunächst die komplexen Zahlen eingeführt werden. Als komplexe Zahl bezeichnet man die Summe einer reellen und einer imaginären Zahl, z.B. a+ib. Des Weiteren geht es um holomorphe Funktionen, worunter man nach A. Cauchy (1789-1857) komplex differenzierbare Funktionen versteht. Die Cauchysche Funktionentheorie basiert auf seinem berühmten Integralsatz, aus dem auch die Cauchysche Integralformel hergeleitet werden kann. Für K. Weierstraß (1815-1897) ist jede Funktion holomorph, die sich um jeden Punkt ihres Definitionsbereiches in eine konvergente Potenzreihe entwickeln lässt. B. Riemann (1826-1866) brachte den geometrischen Aspekt der Funktionentheorie ein. Obwohl völlig verschieden, sind diese drei Zugänge äquivalent und untrennbar miteinander verbunden. Diese Verflechtung von geometrischen, algebraischen und analytischen Methoden macht die Funktionentheorie so homogen in ihrem Aufbau.

A. L. Cauchy	B. Riemann	K. Weierstrass	L. Euler

Da die Funktionentheorie auf dem Begriff der komplexen Zahl basiert, sind historisch gesehen die Anfänge der Funktionentheorie mit dem Erschließen der komplexen Zahlen zu verbinden. Der italienische Mathematiker R. Bombelli (1526-1572) rechnete bereits um 1560 systematisch mit komplexen Zahlen. Die heute übliche Bezeichnung i (die imaginäre Einheit) wurde allerdings erst um 1770 von L. Euler (1707-1783) eingeführt. Dieser entdeckte auch den Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion. Für lange Zeit war kaum jemand so "richtig glücklich" mit den komplexen Zahlen. Einerseits führte das Rechnen mit ihnen zu richtigen Ergebnissen, andererseits existierten sie nicht in der Anschauung, wie z.B. die reellen Zahlen. G. Leibniz (1646-1716) nannte sie ein "Amphibium zwischen Sein und Nichtsein". Schon der Name imaginäre Zahlen drückt aus, wie die komplexen Zahlen zunächst empfunden wurden. Das Dilemma, dass die komplexen Zahlen keinen Platz auf der reellen Achse haben, wurde im 18. Jahrhundert von C.F. Gauß (1777-1855) und unabhängig auch von J. Argand (1768-1822) durch die Einführung der komplexen Ebene gelöst. Den letzten Schritt, die axiomatische Einführung der komplexen Zahlen, ermöglichte der irische Mathematiker und Physiker W.R. Hamilton (1805-1865).

G. Leibniz	C. F. Gauss	W. R. Hamilton	F. Klein

Den Aufbau der Funktionentheorie begründeten (wie oben erwähnt) Cauchy, Riemann und Weierstraß. Im letzten Viertel des 19. Jahrhunderts schufen F. Klein (1849-1925) und H. Poincaré (1854-1912) die Theorie der automorphen Funktionen, welche eine Verallgemeinerung der periodischen und elliptischen (doppelt periodischen) Funktionen darstellen. 1907 bewiesen dann P. Koebe (1882-1945) und Poincaré unabhängig voneinander den Uniformisierungssatz. Neue Impulse erhielt die Funktionentheorie mehrer komplexer Variabler um 1950 durch die französischen Mathematiker J. Leray (1906-1998) und H. Cartan (1904- ), welche die Garbentheorie erschufen.

H. Poincaré	P. Koebe	J. Leray	H. Cartan

Die Resultate der Funktionentheorie finden in allen Zweigen der Mathematik Anwendungen - Eigenwertprobleme in der Linearen Algebra, Eigenlösungen in Dynamischen Systemen, Beschreibung der Größen in der Differentialgeometrie mit dem komplexen Kalkül, Lösen von elliptischen Problemen in den Partiellen Differentialgleichungen und Beschreibung mehrdimensionaler Flächen (Mannigfaltigkeiten) in der Globalen Analysis. Die Anwendungen sind besonders im Bereich der Physik immens, da komplexe Integrale explizit mit den Methoden der Funktionentheorie berechnet werden können.

Interview mit Prof. Begehr

Beschreiben Sie kurz ihr Gebiet?
Die Funktionentheorie ist sozusagen Analysis komplexer Funktionen einer oder mehrer Variablen und somit die natürliche Fortsetzung der reellen Analysis. Differential- und Integralrechnung in der komplexen Analysis lassen sich analog wie im Reellen einführen, aber dies führt zu strengeren Aussagen und tiefgründigeren Eigenschaften.

Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
Während meiner Studienzeit in den 60er Jahren wurde sehr viel in der Funktionentheorie geforscht und ich habe auch gleich bei der ersten Vorlesung Gefallen an diesem Gebiet gefunden.

Was fasziniert Sie an diesem Gebiet?
Die Funktionentheorie ist, wie auch die Analysis, für mich ein sehr ästhetisches Gebiet der Mathematik. Man erhält Formeln, mit denen man etwas verstehen, entwickeln und Probleme lösen kann. Im Gegensatz zur Algebra, in der man eher mit Begriffen ohne großen Formelapperat arbeiten kann.

Was sind die Anwendungen, wofür kann man es gebrauchen?
Für Mathematiker und Physiker gehört die Funktionentheorie zum Handwerkszeug des täglichen Gebrauchs; man denke an die Strömungstheorie oder die Maxwell-Gleichungen. Für Nicht-Mathematiker spielt sie aufgrund der Unbekanntheit der komplexen Zahlen keine wichtige Rolle.

Was sind die Aussichten in diesem Gebiet (Berufschancen)?
Für Mathematiker ist es nicht besonders wichtig, in welchem Gebiet sie sich spezialisieren, da das Studium der Mathematik insbesondere die analytische Denkweise sowie methodisches Arbeiten lehrt. Wenn man jedoch in die Forschung an der Uni geht, sollte man sich besser auf aktuelle Gebiete, wie z.B. Partielle Differentialgleichungen oder Dynamische Systeme spezialisieren, da die Nachfrage dort größer ist. Die Funktionentheorie war, wie schon gesagt, während meiner Studienzeit noch sehr gefragt, aber mittlerweile befindet sie sich nicht mehr im Zentrum der Forschung.

Woran und mit wem arbeiten Sie zur Zeit?
Zurzeit entwickele ich Integralformeln. Das sind Darstellungsformen für differenzierbare Funktionen im Zusammenhang mit Randwertproblemen. Ich arbeite sehr gerne mit anderen Professorinnen und Professoren aus aller Welt zusammen und habe mittlerweile gemeinsame Publikationen mit Wissenschaftlern aus 18 verschiedenen Ländern.

Gab es ein besonderes Erlebnis/Ereignis auf diesem Gebiet für Sie?
Die Biberbach-Vermutung von 1916 hat viele Mathematiker beschäftigt, bis sie 1984 bewiesen wurde. Der Beweis hatte keine interessanten mathematischen Folgerungen, aber viele Mathematiker wurden dadurch arbeitslos und mussten sich nach neuen Forschungsthemen umsehen.

Was ist ihrer Meinung nach das bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker auf diesem Gebiet?
Die bedeutendsten Ergebnisse sind sicherlich die Cauchyschen Integralsätze mit ihren weitreichenden Folgerungen. Als bedeutendste Mathematiker sind gewiss Cauchy, Weierstraß und Riemann zu nennen, die die gleichen Ergebnisse durch verschiedene Herangehensweisen erzielten und das Gebiet im Wesentlichen gestaltet haben.

Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:

B. Riemann
L. Euler
G. Leibniz
F. Klein