Geometrie

Die Geometrie dürfte ein mathematisches Gebiet sein, mit dem eigentlich jeder etwas anfangen kann. Auch die ersten bedeutenden Ergebnisse, wie der Satz des Pythagoras, dürften jedem in seiner Schullaufbahn begegnet sein. Sie ist also ein Gebiet, in welchem die ursprünglichen Fragestellungen einfach sind und deren Wichtigkeit, siehe Landvermessung, im täglichen Leben sichtbar wird. Über Dreiecke oder andere geometrische Figuren, allgemein Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, wurden schon sehr früh Betrachtungen angestellt. Erst durch Einbezug anderer Fachgebiete konnte jedoch z.B. gezeigt werden, dass es nicht möglich ist, einen gegebenen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal in drei gleichgroße Winkel zu zerlegen. All diese Bereiche beziehen sich jedoch eindeutig auf die Euklidische Geometrie. Im weitergehenden Studium der Geometrie kam man jedoch sehr bald zu der Erkenntnis, dass dies nicht die einzig mögliche Beschreibung einer Geometrie ist, sondern dass es viele verschiedene Möglichkeiten gibt und infolgedessen kam es gerade in der neueren Geometrie zu einer starken Auffächerung in Untergebiete.

Thales von Milet	Euklid von Alexandria	Archimedes von Syrakus	Al-Hwarizmi

Die Geometrie entstand, wie so viele andere Grundlagen der menschlichen Kultur, aus praktischen Überlegungen. Sie ist die älteste systematisierte mathematische Disziplin. Erste Anstöße hierfür lieferte die Notwendigkeit, Winkel zu messen oder Flächen- und Rauminhalte zu konstruieren, z.B. beim Bau von Tempeln oder Pyramiden. Lange Zeit wurde die Geometrie daher auch nicht als Wissenschaft betrieben, da kein Bedürfnis nach Beweisen oder Ähnlichem bestand. Der Sinn der Geometrie war eindeutig auf die Beantwortung praktischer Fragen begrenzt. Doch auch so wurden erstaunliche Ergebnisse, wie z.B. die Berechnung des Rauminhalts eines Pyramidenstumpfes, erzielt. Ebenso wurde die Berechnung der Flächeninhalte regelmäßiger Figuren, die in einem Kreis eingeschrieben sind, schon von den Babyloniern geleistet. Besonders verblüffend ist, dass die Babylonier auch schon den später als "pythagoräischen Lehrsatz" berühmt gewordenen Satz kannten. Erst jedoch durch die Griechen wurde die Geometrie von einer Mathematik aus Problemen des täglichen Lebens zu einer richtigen Wissenschaft erhoben, in der erstmals strenge Beweise für geometrische Sachverhalte gegeben wurden. Grundlegend hierfür war unter anderem der berühmte Philosoph Thales von Milet (624-547 v.Chr.). Auch das Wort Geometrie an sich kommt aus dem Griechischen und bedeutet so viel wie "Erdvermessung".
In der Mathematik im Griechenland des 6. und 7. Jahrhunderts stand die Geometrie dann eindeutig im Mittelpunkt. Dies wird auch dadurch deutlich, dass sogar Zahlengesetze geometrisch bewiesen wurden. Aus dieser Zeit stammen auch die drei klassischen Probleme der antiken Mathematik. Auch das wohl bedeutendste Buch der Mathematikgeschichte entstand in dieser Zeit: Euklids (325-265 v.Chr.) Elemente, deren größter Teil sich mit der Geometrie befasst, legten die axiomatische Grundlage für die folgende Mathematik. Neben Euklid entwickelte sich Archimedes von Syrakus (287-212 v.Chr.) als wichtigster Vertreter der damaligen Mathematik. Er war es, der unter anderem die erste Annäherung der Zahl pi lieferte.

Rene Descartes	Carl-Friedrich Gauß	Nikolai Lobatschewski	Janos Bolyai	David Hilbert

Nach dem Fall des Römischen Reichs musste Europa die Vormachtstellung in den mathematischen Wissenschaften vor allem an die islamischen Länder und Indien abtreten. Zu nennen sind hier besonders der Abu-l-Wafa Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail al-Buzjani (940-997), der sich mit Konstruktionen mit Zirkel und Lineal beschäftigte und Al-Hwarizmi (780-850), der unter anderem die genauere Berechnung von pi vorantrieb.
Im 17. Jahrhundert, nachdem sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa verlagert hatte, gelang es R. Descartes (1596-1650), eine Verbindung der Geometrie und der Algebra zu erstellen. Durch sein Werk Discours de la méthode aus dem Jahr 1637, entstand die analytische Geometrie. Außerdem entwickelten sich Gebiete wie die projektive Geometrie oder im 18. Jahrhundert die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis. Widerspruchsfreie Systeme nichteuklidischer Geometrien wurden unabhängig voneinander durch C.F. Gauß (1777-1855), N.I. Lobatschewski (1792-1856) und J. Bolyai (1802-1860) entwickelt. Auch konnten mit algebraischen Methoden die oben bereits erwähnten drei antiken Probleme gelöst werden (übrigens alle negativ).
Auch zu Beginn des 20. Jahrhunderts war das Interesse an der Geometrie ungebrochen. Auf D. Hilberts Liste der 23 Probleme beispielsweise stammen allein sieben aus dem Gebiet der Geometrie. Wichtig wurde die Geometrie in dieser Zeit besonders auch in anderen Bereichen, wie z.B. der Physik. Man bedenke nur, dass sich Einsteins Relativitätstheorie auch auf geometrischen Überlegungen begründet. In näherer Vergangenheit ist gerade die Informatik ein Gebiet geworden, welches nicht unwesentlich geometrische Methoden, beispielsweise für Computergraphiken, verwendet. Auch bleibt abschließend festzuhalten, dass die Geometrie heutzutage sich in so viele Gebiete verzweigt hat, dass es fast nicht mehr möglich ist überhaupt von "einer" Geometrie zu sprechen, sondern es inzwischen viele "verschiedene" Geometrien gibt. Ausgangspunkt war sicherlich die Euklidische Geometrie, doch gibt es neben dieser heute eine hyperbolische, eine elliptische oder auch eine symplektische Geometrie.

Interview mit Prof. Schulz

Beschreiben Sie bitte kurz das Gebiet der Geometrie.
Die Geometrie hat zum Ziel, den Anschauungsraum und höher dimensionale Räume mathematisch zu beschreiben. Schon aus der Schule kennt man ja die elementare Geometrie, wobei man sich dort leider oft nur auf die Konstruktion von Dreiecken oder Ähnlichem beschränkt. Kreise, Ellipsen und Parabeln werden durch Analytische Geometrie besser dargestellt. Zu diesen beiden Gebieten kommen an der Universität noch weitere Gebiete hinzu, wie die Differentialgeometrie, für die Hilfsmittel aus der Analysis herangezogen werden, oder auch die Projektive Geometrie, welche eine Weiterführung der Analytischen Geometrie und der Elementargeometrie ist und "unendlich ferne" Punkte hinzunimmt. Außerdem spielen die Theorie der Polytope und die Algebraische Geometrie (die weit in die Algebra reicht) eine Rolle, da sie auch für die Anwendungen von Bedeutung sind.

Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
Zur Geometrie bin ich durch die projektive Geometrie gekommen, da sich mein Doktorvater damit beschäftigt hat.

Was fasziniert Sie an diesem Gebiet?
Das ist nicht einfach zu beantworten. Zum einen sind die eleganten Beweise faszinierend, zum anderen auch eine Vielzahl von Problemen, die zunächst unlösbar erscheinen, sich aber schließlich doch lösen lassen. Interessant ist sicherlich auch ihre Bedeutung für die Anwendung.

Wo liegen die Anwendungsmöglichkeiten in Ihrem Gebiet?
Anwendungen finden sich z.B. durch die "hyperbolische Geometrie" in der Physik, durch die diskrete Mathematik in der Kryptographie, durch die Theorie der Polytope in der Optimierung, auch wenn all diese Anwendungen nicht direkt sichtbar sind. Deutlicher werden sie schon in der Computergraphik und allgemein im Gebiet der Informatik, wie bei der Mustererkennung, und natürlich in der Architektur und Kunst.

Was gibt es für Aussichten (Berufschancen)?
Wenn man sich auch mit anderen Teilgebieten, wie der angewandten Mathematik und der Informatik befasst, ist das spezielle Thema der Vertiefung des Mathematik-Studiums für später nicht so entscheidend. Möglichkeiten gibt es sicherlich in den den naturwissenschaftlichen und computerbezogenen Branchen.

Woran arbeiten Sie zurzeit?
Ich betreue eine Doktorandin auf dem Gebiete der diskreten Mathematik und habe gerade die 2. Auflage meines Buchs zur Codierungstheorie veröffentlicht, in dem jedoch nur wenige geometrische Momente vorhanden sind.

Arbeiten Sie normalerweise allein oder in Teams?
Eigentlich arbeite ich meist allein oder in kleineren Gruppen. Jedoch gibt es auf Kongressen die Möglichkeit, sich mit anderen auszutauschen.

Gab es ein besonderes Ereignis für Sie auf diesem Gebiet?
In meinem Teilgebiet zeigt der Nachweis der Nicht-Existenz der projektiven Ebene der Ordnung 10, dass die Frage der möglichen Punkte-Anzahlen von projektiven Ebenen nicht einfach zu beantworten ist. Im benachbarten Gebiet der Gruppentheorie hat mich die Klassifizierung der endlichen "einfachen Gruppen" sehr beeindruckt.

Was ist das ihrer Meinung nach bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker im Bereich der Geometrie?
Ohne anderen Geometern ihre Verdienste absprechen zu wollen, sind hier vor allem die griechischen Mathematiker der Antike zu nennen. Beispielsweise üben Euklids Bücher noch bis heute (in der Form des von Hilbert auf eine solide Grundlage gestellten Axiomensystems) Einfluss auf die Geometrie aus. Die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie im 19. Jahrhundert hat dann unser Weltbild (von der Newtonschen Physik zur Relativitätstheorie) stark beeinflusst.

Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:

Thales von Milet
Euklid von Alexandria
Archimedes von Syrakus
C.F. Gauß
D. Hilbert