Wahrscheinlichkeitstheorie

Jedem ist "irgendwie klar", dass beim Würfeln alle Ergebnisse - falls man nur "oft genug" wirft - im Durchschnitt gleich oft erscheinen sollten; jedenfalls, wenn alles mit rechten Dingen zugeht.
Die Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es Probleme wie dieses zu präzisieren. Dazu ist zunächst der ungreifbare Begriff "Zufall" durch mathematische Axiome zu beschreiben. Dass die heute verwendete Beschreibung, die auf Kolmogoroff zurückgeht, eine richtige Wahl ist, zeigt sich daran, dass es z.B. möglich ist, die oben gemachte Beobachtung mathematisch zu beweisen. Dieses Ergebnis heißt das Gesetz der großen Zahlen. Ein anderes verblüffendes Ergebnis ist, dass ein Affe, setzte man ihn an eine Schreibmaschine und ließe ihn zufällig auf die Tasten hauen, jeden Text, z.B. Goethes Werke in chronologischer Reihenfolge, tippte - sogar unendlich oft - jedenfalls, wenn er unendlich lange lebte.
Wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden spielen auch in andere Gebiete der Mathematik hinein, z.B. in die Numerik. Eine Vielzahl von numerischen Verfahren, so genannte Monte-Carlo-Verfahren, beruhen auf Ergebnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

G. Cardano	B. Pascal	P. de Fermat	C. Huygens	J. Bernoulli

Begonnen, sich mit der Beschreibung von Zufallserscheinungen auseinander zu setzen, wurde im 16. Jahrhundert, motiviert vor allem durch das Glücksspiel. Als Pionier dieses Gebietes ist der italienische Mathematiker G. Cardano (1501-1576) anzusehen, der sich als Erster intensiv mit Wahrscheinlichkeitsrechnung befasste. In seinem Buch liber de ludo aleae (dt.: Buch über das Würfelspiel) untersuchte er das Spiel mit mehreren Würfeln. Im weiteren Verlauf - bis in die Mitte des 17. Jahrhunderts - wurden für spezielle Probleme einzelne Lösungen angegeben, eine gemeinsame grundlegende Theorie jedoch hatte sich noch nicht entwickelt. Dies gelang B. Pascal (1623-1662), P. de Fermat (1601-1665) und C. Huygens (1629-1695), die von vielen als die wahren Schöpfer der Wahrscheinlichkeitstheorie angesehen werden. Einen wesentlichen Anteil an der weiteren Entwicklung hatte J. Bernoulli (1654-1705), der in seinem Werk ars conjectandi (dt.: Kunst des Vermutens) das Gesetz der großen Zahlen formulierte und bewies. Sein Neffe D. Bernoulli (1700-1782) beschäftigte sich mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit von bestimmten Aussagen, unter der Bedingung von bestimmten Beobachtungen. Dieses Problem konnte aber erst im Jahre 1764 von T. Bayes (1702-1761) gelöst werden.

D. Bernoulli	T. Bayes	P. Laplace	C.F. Gauß

Als weiterer Meilenstein in der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Arbeit von P. Laplace (1749-1827) zu sehen. Unter anderem fasste er in seinem Werk Théorie analytique des probabilités (dt.: analytische Theorie der Wahrscheinlichkeiten) das damalige wahrscheinlichkeitstheoretische Wissen zusammen. Auf C.F. Gauß 1777-1855) geht die Methode der kleinsten Fehlerquadrate zurück, die er bei astronomischen und geodätischen Berechnungen mit großem Erfolg anwandte.
Ab etwa 1850 entwickelte sich in Russland eine starke Schule der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die sich eine klare Formulierung und Vollständigkeit der Ergebnisse zum Ziel gesetzt hatte. Zu nennen sind hier vor allem P. Tschebyscheff (1821-1894), A. Markow (1858-1922) und A. Lyapunow (1857-1918). Um die Jahrhundertwende 19./20. Jh. empfand man immer stärker den Wunsch nach einer axiomatischen Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie, Hilbert zählte dieses sogar zu seinen 23 Problemen. Aufbauend auf Ideen E. Borels (1871-1956) fand A. Kolmogoroff (1903-1987) im Jahr 1933 schließlich die bis heute vorherrschende axiomatische Grundlage für die Wahrscheinlichkeitstheorie.

P. Tschebyscheff	A. Markow	A. Lyapunow	E. Borel	A. Kolmogoroff

Sie hat in jüngerer Vergangenheit durch die Quantentheorie stark an Bedeutung gewonnen, da elementaren Teilchen nun nicht mehr ein genauer Aufenthaltsort zu jeder Zeit, sondern nur noch gewisse Wahrscheinlichkeiten für den Aufenthalt zugeordnet werden können. So ist die Quantentheorie ein großes Anwendungsgebiet wahrscheinlichkeitstheoretischer Methoden. Auch einem Wetterbericht oder einer Analyse der Börsenkurse liegen Methoden der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie zugrunde.

Interview mit Prof. Behrends

Beschreiben Sie bitte kurz das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es darum, Modelle für die Beschreibung des Zufalls bereitzustellen. Diese sollen dann zum Verständnis der beobachteten Phänomene und für Voraussagen eingesetzt werden.

Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
Es gab zwei Gründe. Ich habe mich für viele Jahre intensiv und fast ausschließlich mit dem Gebiet Funktionalanalysis beschäftigt, dort gab es in den letzten Jahrzehnten immer wieder Probleme, die durch den Einsatz wahrscheinlichkeitstheoretischer Methoden gelöst werden konnten. Und zweitens wollte ich mich als Ergänzung zur eher abstrakten Funtkionalanalysis in ein mehr anwendungsorientiertes Gebiet einarbeiten.

Was fasziniert Sie an diesem Gebiet?
Mich faszineiert, dass man es - auch nach Einsatz sehr anspruchsvoller Mathematik - am Ende mit Phänomenen zu tun hat, die sich in unserer Erfahrungswelt interpretieren lassen. Außerdem kommen die Probleme meiner Neigung entgegen, mathematische Sachverhalte durch Computersimulationen veranschaulichen und besser verstehen zu können.

Wo liegen die Anwendungsmöglichkeiten in Ihrem Gebiet?
Die sind sehr vielfältig. Ein wichtiger Anwendungsbereich ist sicher das weite Feld der Statistik, in letzter Zeit sind aber auch viele neue Zweige dazugekommen wie etwa die Risiko-Analyse von Aktienkursen.

Was gibt es für Aussichten (Berufschancen)?
Die Aussichten sind sehr gut. Alle Examenskandidaten, die ich kenne, haben schnell eine gute Stelle gefunden.

Woran arbeiten Sie zurzeit?
Mich beschäftigt ein Paradoxon aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das so genannte Parrondo-Paradoxon. In diesem Umkreis sind viele Phänomene noch nicht verstanden.

Wie lange arbeiten Sie so an einem Problem?
Das ist sehr unterschiedlich. Manchmal hat man innerhalb von Wochen eine Lösung, mitunter dauert es auch mehrere Jahre.

Gab es ein besonderes Ereignis für Sie auf diesem Gebiet?
So spektakuläre Ergebnisse wie etwa die Lösung des Fermat-Problems hat die Wahrscheinlichkeitsrechnung sicher nicht zu bieten. Ich finde nach wie vor das Zusammenspiel sehr intelligent ausgedachter Konzepte beeindruckend, die dann zu tief liegenden Ergebnissen führen. (Ein Beispiel: Die Konzepte ,,Martingal'' und ,,Stoppzeit'' ermöglichen es nach Beweis des Stoppzeitentheorems, allen Spielern dieser Welt zu garantieren, dass es keine Gewinnstrategie geben kann.)

Was ist das Ihrer Meinung nach bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker im Bereich der Wahrschienlichkeitstheorie?
Hier dürfte allen Fachkollegen wohl als erstes der Name Kolmogoroff einfallen.

Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:

G. Cardano
B. Pascal
P. de Fermat
C.F. Gauß