Zahlentheorie
Die Zahlentheorie ist für den mathematischen Laien sicherlich eines der zugänglichsten Gebiete der Mathematik, da sie sich ursprünglich
hauptsächlich mit den Eigenschaften natürlicher Zahlen (d.h. ganzer, positiver Zahlen) beschäftigt.
Die Probleme sind oftmals einfach und für jederman verständlich. Es geht z.B. um die Teilbarkeit natürlicher Zahlen, ob eine natürliche Zahl als
Summe von Quadraten darstellbar ist oder ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist. Das bedeutet, dass sie nur die Eins und sich selbst
als Teiler hat.
Im Laufe der Zeit haben sich die Fragestellungen auch auf die ganzen, rationalen und reellen Zahlen erweitert.
Ein Beispiel für ein berühmtes Problem, welches in den Bereich der Zahlentheorie fällt, ist die
Quadratur des Kreises.
Die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises liegt daran, dass die Kreiszahl
pi nicht algebraisch ist, was 1882 von
F. von Lindemann (1852-1939) bewiesen werden konnte.
Algebraische Zahlen sind Zahlen, die als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten geschrieben werden können, d.h. eine
Gleichung der Form 
lösen. Eine Zahl die nicht algebraisch ist heißt transzendent, womit der Bereich der Untersuchungen erneut um ein Gebiet erweitert
wurde.
Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde immer klarer, dass sich die Zahlentheorie in ganz unterschiedliche Richtungen entwickelte, so dass
man heute zwischen algebraischer Zahlentheorie, analytischer Zahlentheorie und arithmetischer Geometrie unterscheidet.
Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich mit dem Zusammenspiel zwischen algebraischen Ausdrücken und den Eigenschaften
natürlicher Zahlen.
Die analytische Zahlentheorie wurde durch das Verwenden von funktionentheoretischen Methoden innerhalb der Zahlentheorie begründet.
Da sich gewisse algebraische Eigenschaften hauptsächlich durch geometrische Ausdrücke beschreiben lassen entstand der Bereich der
arithmetischen Geometrie, deren aktueller Höhepunkt erst 1995 bewiesen werden konnte, als es
A. Wiles (1953- ) gelang die
Fermatsche Vermutung zu beweisen.
Diese besagt, dass für eine beliebige natürliche Zahl 
kein Tripel (x,y,z) aus natürlichen Zahlen existiert, welches die
Gleichung 
erfüllt.
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| Euklid von Alexandria | Pierre de Fermat | Leonhard Euler | J.L. Lagrange | Carl-Friedrich Gauß |
Neben der Geometrie ist die Zahlentheorie das älteste Gebiet der Mathematik.
Ihr Ursprung ist in der Wirtschaft zu finden, wo es nötig war z.B. im Handel oder in Erbschaftsangelegenheiten die Güter gerecht zu verteilen.
Dafür benötigte man eine gewisse Vorstellung von Zahlen und Mengen.
In ihren Anfängen ist besonders Euklid (325-265 v.Chr.)
zu erwähnen, der in seinen Elementen unter anderem einige Sätze über Primzahlen bewies.
Beispielsweise konnte er zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt und dass jede Zahl eindeutig in ihre Primfaktoren zerlegbar ist.
Das bedeutet, dass sie sich als Produkt von Primzahlen darstellen lässt und die Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig ist.
In der griechischen Antike wurden auch viele Sätze bewiesen, die aussagten, dass manche Konstruktionen nicht durchführbar sind.
So bewies der Pythagoräer Hippasos von Metapont im 5. Jahrhundert vor Chr., dass das Längenverhältnis zwischen einer Diagonalen und
einer Seite im regelmäßigen Fünfeck (der goldene Schnitt) sich nicht als Verhältnis zweier natürlicher Zahlen darstellen lässt.
Dies besagt also, dass diese Zahl 
irrational ist.
Eine weitere solche Negativaussage ist, dass es nicht möglich ist, einen gegebenen Winkel mit Zirkel und Lineal in drei gleichgroße Winkel zu
unterteilen, was jedoch erst weitaus später durch das Prinzip der Körpererweiterungen bewiesen werden konnte.
Bereits im Jahr 250 n. Chr. konnte
Diophantos von Alexandria mit Hilfe einer
Symbolschreibweise Gleichungen mit algebraischen Ausdrücken bis zur 6. Potenz und in mehreren Unbekannten lösen.
Sein Werk Arithmetika, welches er während seiner Arbeit an der Universität von Alexandria, an der auch schon Euklid arbeitete, verfasste,
erlangte für die Zahlentheorie eine sehr große Bedeutung.
Einen sehr wichtigen Beitrag zur Zahlentheorie lieferte auch
L. Euler (1707-1783), dessen Interesse erst durch einen
intensiven Briefwechsel mit C.Goldbach (1690-1764) auf
die Zahlentheorie gelenkt wurde.
Aus dieser Korrespondenz stammt auch die berühmte Goldbachsche Vermutung, die Frage, ob jede ungerade natürliche Zahl n> 5 als
Summe von drei Primzahlen geschrieben werden kann, bzw. ob jede gerade natürliche Zahl n>4 als Summe von zwei Primzahlen
geschrieben werden kann. Beide Sätze sind als Goldbachsche Vermutung bekannt.
Euler arbeitete in vielen verschiedenen Themengebieten und von ihm stammt z.B. ein Beweis zur Unendlichekeit der Primzahlen, der Euklids
Aussage noch verschärft.
Dieser sagt aus, das sogar die Summe der Kehrwerte der Primzahlen gegen unendlich strebt.
Inspiriert durch Euler veröffentlichte
J.L. Lagrange (1736-1813) sein Werk
Recherches d'arithmétique, in dem er einige der Vermutungen Eulers bewies und damit wiederum
C.F. Gauß (1777-1855) beeinflusste, der wohl als der
bedeutendste Mathematiker der Zahlentheorie gilt.
B. Riemann (1826-1866) veröffentlichte 1895 seine
einzige Publikation zur Zahlentheorie, in der auch die
Riemannsche Vermutung enthalten war, die bis in die
Gegenwart weder bewiesen noch widerlegt werden konnte.
Neben dem Wunderkind der Zahlentheorie, dem Inder
S. Ramanujan (1887-1920), bleibt aus der neueren Zeit
noch P. Erdös (1913-1996) zu nennen, der ein schier
unendliches Reservoir an zahlentheoretischen Arbeiten fabrizierte.
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| B. Riemann | F. von Lindemann | S. Ramanujan | Paul Erdös | Andrew Wiles |
Heutzutage ist die Zahlentheorie nicht mehr nur als reine Mathematik zu bezeichnen, sondern entwickelt sich vielmehr durch das Wechselspiel von Ergebnissen bzw. Vermutungen, die aus anderen Bereichen kommen und noch mathematisch begründet werden müssen, weiter. Dies wurde insbesondere durch die immer mehr ansteigende Leistungsfähigkeit der Computer vorangetrieben. Zudem beruhen viele Verfahren der Kryptographie, der Wissenschaft zum Verschlüsseln von Nachrichten, auf Grundlagen der Zahlentheorie. Als Beispiel ist hier das RSA-Verfahren zu nennen, welches ausnutzt, dass große Zahlen nur schwer in ihre Primfaktoren zerlegbar sind. Im Großen und Ganzen kann man sagen, dass die Zahlentheorie nach Gauß, der sie für die Königin der mathematischen Wissenschaften hielt, eine Kombination aus reiner und angewandter Mathematik darstellt. Zum einen lässt sie sich wie ein Fachgebiet der angewandten Mathematik eher durch ihre Probleme als ihre Methoden beschreiben und zum anderen ist ihre Entwicklung hauptsächlich durch die Neugier der Menschen vorangetrieben worden und nicht "durch Bedürfnisse des ,Wissenstransfers'".
Interview mit Prof. Schulze
Beschreiben Sie bitte kurz ihr Gebiet.
Ursprünglich befasst sich die Zahlentheorie mit Problemen von ganzen Zahlen, die dabei angewendeten Methoden führen aber weit darüber hinaus. Grob gesehen gliedert sich die Zahlentheorie in elementare, analytische und algebraische Zahlentheorie. Mein Spezialgebiet ist die algebraische Zahlentheorie, bei der versucht wird, mit Hilfe von algebraischen Methoden zahlentheoretische Probleme zu lösen. Die Zahlentheorie hat große Bedeutung innerhalb der Mathematik. In jüngerer Zeit hat sich aber gezeigt, dass die Zahlentheorie auch eine wichtige Bedeutung außerhalb der Mathematik in Hinblick auf Anwendungen, vor allem in der Codierungstheorie und Kryptographie, gewonnen hat.
Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
Das war eher Zufall. Mein damaliger Betreuer bei der Diplomarbeit, Professor Hornfeck, regte mich dazu an, in dem Gebiet weiter zu
arbeiten.
Ich habe schnell gemerkt, dass mir die Zahlentheorie sehr viel Spaß macht, vor allem aufgrund der vielen verschiedenen Techniken, die dabei
zum Zug kommen.
Seit wann arbeiten Sie darin?
Seit meinem Diplom, also seit 1969.
Was fasziniert Sie so an speziell diesem Gebiet?
Die Vielfältigkeit der Methoden und der Ideen, die man benutzt, um Fragen zu klären, die sehr schwierig zu lösen sind, gleichzeitig meistens
aber sehr einfach zu formulieren.
Was sind die Anwendungen, wofür kann man es gebrauchen?
Lange Zeit wurde angenommen, dass die Zahlentheorie, als die ,,Perle der Mathematik'' hauptsächlich innerhalb der Mathematik nützlich ist.
Inzwischen gibt es durchaus auch interessante Anwendungen außerhalb der Mathematik, besonders hinsichtlich der Codierung und
Verschlüsselung von Daten, was auch durch die Weiterentwicklung der Computer immer mehr an Bedeutung gewinnt.
Was sind die Aussichten in diesem Gebiet?
Ich weiß nicht, ob es günstig ist, gerade die Zahlentheorie auszuwählen, wenn man als ersten Gesichtspunkt die Aussichten für eine
Berufsausübung bei dieser Wahl optimieren möchte.
Ich glaube andererseits, dass es recht unbedeutend für die spätere Berufsausübung außerhalb der Universität ist, mit welchen Teilgebiet der
Mathematik man sich im Studium speziell beschäftigt.
Woran arbeiten Sie derzeit?
Mein Arbeitsgebiet im Moment liegt im Bereich der euklidischen Ringe, wo es vor allem um die Frage geht, welche Ganzheitsringe
algebraischer Zahlkörper euklidische Ringe sind, bzgl. irgendeiner Norm, die auch verschieden sein kann von der gewöhnlichen Norm.
Arbeiten Sie normalerweise allein oder in Teams?
Ich arbeite überwiegend alleine, da ich der einzige Zahlentheoretiker an diesem Fachbereich bin. Jedoch hat man Kontakt zu anderen
Zahlentheoretikern.
Was ist das ihrer Meinung nach bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker im Bereich der Zahlentheorie?
Die beiden bedeutendsten Ergebnisse waren die Lösung der Fermatschen Vermutung von Andrew Wiles und die Lösung der Modellschen
Vermutung von Faltings.
Der bedeutendste Mathematiker auf diesem Gebiet war Gauß.
Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:
