Abzählbar vs. Überabzählbar

Nachdem man sich zunächst mit der Tatsache anfreunden muss, dass es zumindest in der Mathematik unendlich große Mengen gibt, stellt sich daraufhin die nächste schwierige und mit der normalen Anschauung nicht zu beantwortende Frage:

Gibt es verschieden große unendliche Mengen oder darf alles Unendliche als prinzipiell gleich groß angesehen werden?

Diese Frage ist wie folgt zu beantworten:
Es gibt verschieden große Unendlichkeiten, auch wenn das im ersten Moment etwas überraschend klingt.

1. Unendlich:

Zunächst muss man sich also klar machen, was es eigentlich heißt, dass eine Menge unendlich ist. Die Definition lautet wie folgt:

Sei M eine Menge. M heißt unendlich, falls es eine echte Teilmenge N von M gibt, die sich bijektiv (Erklärung unten) auf M abbilden lässt. Eine Menge heißt endlich, falls sie nicht unendlich ist.

Diese Definition sollte man sich nochmal etwas genauer ansehen. Was bedeutet es, dass sich eine echte Teilmenge bijektiv auf die ganze Menge abbilden lässt? Im Grunde bedeutet bijektiv nur, dass man eine Abbildung findet, die jedem Element der einen genau eines der anderen Menge zuordnet. Beispielsweise ist eine Funktion, die jeder ganzen Zahl n ihr Negatives, also -n, zuordnet eine Bijektion der ganzen Zahlen auf sich selbst, denn z.B. die 3 wird der -3, die -14 der 14 zugeordnet usw. Welche ganze Zahl auch immer man vorgibt, man findet genau eine Negative und nur eine. Dabei wird die 0 auf -0=0 abgebildet.
Versuchen wir nun also nachzuweisen, dass die Menge der natürlichen Zahlen (0, 1, 2, ...) unendlich ist. D.h. wir müssen eine echte Teilmenge finden, die wir bijektiv auf die natürlichen Zahlen abbilden können. Nehmen wir dazu die Teilmenge der geraden natürlichen Zahlen, die sicher eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen bildet. Wir definieren nun die Funktion, die jeder natürlichen Zahl ihr Doppeltes zuordnet. Das ist dann eine Bijektion und wir haben gezeigt, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist.

Nachdem wir also klären konnten, was Unendlich eigentlich bedeutet, kommen wir nun zum zweiten Schritt:

2. Größenvergleiche zwischen unendlichen Mengen:

Auch hierfür beginnen wir mit einer Definition, um zu klären, was es bedeutet, dass zwei Mengen gleichgroß sind:

Zwei Mengen heißen gleichgroß, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.

Nachdem wir im oberen Abschnitt uns schon mit dem Begriff Bijektion befasst haben, dürfte diese Definition jetzt keine großen Schwierigkeiten mehr darstellen. Auch ist mit dem obigen Abschnitt bewiesen, dass die Menge der natürlichen Zahlen genauso groß ist, wie die der geraden natürlichen Zahlen, obwohl man intuitiv vermuten würde, dass es viel mehr natürliche Zahlen gibt.
Ein weiteres interessantes Ergebnis ist, dass die Menge der natürlichen Zahlen genauso groß wie die der ganzen (also auch der negativen) Zahlen ist. Um das zu beweisen, definiert man einfach eine Abbildung in folgender Weise: Die 0 wird der 0 zugeordnet, die 1 der 1, die 2 der -1, die 3 der 2, die 4 der -2, usw. Es sollte klar sein, dass es sich dabei um eine Bijektion handelt.

Jetzt können wir uns um die Begriffe abzählbar und überabzählbar kümmern.

3. Abzählbare Mengen:

Definition:

Eine Menge M heißt abzählbar, wenn eine Bijektion zwischen M und den natürlichen Zahlen existiert.

Es sind also genau die Mengen abzählbar, welche genauso groß wie die der natürlichen Zahlen sind.
Wie sieht es denn nun z.B. mit der Menge der rationalen Zahlen (alle Brüche) aus? Ist sie abzählbar oder nicht?
Wir müssen versuchen eine Bijektion von den natürlichen auf die rationalen Zahlen zu finden. Diese Bijektion existiert auch wirklich und wird am besten mit dem Cantorschen Diagonalverfahren gezeigt.

Man bilde also die natürlichen Zahlen anhand der Pfeilfolge auf die rationalen Zahlen ab, also 0 auf 0, 1 auf 1, 2 auf 2, 3 auf 1/2, u.s.w. Die negativen Zahlen erhält man natürlich auch. Man muss nur abwechselnd poistiv und negativ nehmen, also 0 auf 0, 1 auf 1, 2 auf -1, usw.
Wie man an diesem Verfahren sehr gut erkennen kann, sind Mengen genau dann abzählbar, wenn man sie in einer Reihe aufschreiben kann (natürlich eine unendlich lange Reihe) und dabei keine einzige vergisst.

Die Frage, die sich jetzt noch stellt ist:

Gibt es auch unendliche Mengen, die nicht abzählbar, also wirklich größer als die der natürlichen Zahlen, sind ?

Auch diese Frage ist, wie im Folgenden erlätert wird, mit Ja zu beantworten.

4. Überabzählbare Mengen:

Definition:

Eine Menge M heißt überabzählbar, wenn sie weder endlich noch abzählbar ist.

Eine Menge ist also genau dann überabzählbar, wenn sie nicht endlich ist und auch keine Bijektion zwischen ihr und den natürlichen Zahlen existiert.
Solche Mengen existieren auch. Beispielsweise ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, was mit einem weiteren Diagonalverfahren von Cantor bewiesen werden kann. Dieses Verfahren ist jedoch weitaus komplizierter als das oben gezeigte und wird daher hier nicht weiter ausgeführt. Die Menge der reellen Zahlen ist also echt größer als die der natürlichen und der rationalen Zahlen.

Auf ähnliche Weise kann man nun fortfahren und fragen, ob es denn auch Mengen gibt, die echt größer als die der reellen Zahlen sind. Auch solche Mengen gibt es. Sie sind natürlich ebenfalls überabzählbar, es wird jedoch kein weiterer Begriff dafür verwendet.
Interessanter ist da die Kontinuumshypothese, die fragt, ob es Mengen gibt, die echt kleiner als die reellen Zahlen, aber echt größer als die natürlichen Zahlen sind. Eines der bedeutendsten Ergebnisse der Mengenlehre besagt, dass die Kontinuumshypothese mit der vorhandenen Axiomatik weder bewiesen noch widerlegt werden kann.