Verknüpfungen

In vielen mathematischen Bereichen kommt es vor, dass man aus zwei Objekten, mit denen man sich gerade beschäftigt, ein neues konstruiert. So bildet man aus zwei Zahlen die Summe (oder das Produkt), aus zwei Mengen den Durchschnitt, aus zwei Aussagen die "UND"-Verknüpfung dieser Aussagen usw.

Das gibt es im täglichen Leben übrigens auch, zum Beispiel dann, wenn man aus zwei Substantiven ein zusammengesetztes Wort bildet (aus ,,ZAUN'' und ,,KÖNIG'' wird dann ,,ZAUNKÖNIG'') oder wenn man Satzteile zu Sätzen zusammenfügt.

Für so eine Vorschrift gibt es den Fachausdruck Verknüpfung. Verschiedene Eigenschaften von solchen Verknüpfungen spielen eine wichtige Rolle, an die drei prominentesten soll hier erinnert werden: an das Assoziativ-, das Kommutativ- und das Distributivgesetz.

Das Assoziativgesetz

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Wenn eine Verknüpfung gegeben ist, so ist damit in jedem Fall klar, wie man zwei Objekte zusammenfügt. Was aber, wenn nun drei Objekte vorliegen? Wenn man die zur Abkürzung A, B und C nennt, so gibt es doch zwei Möglichkeiten:
- Man könnte zunächst A mit B und das Ergebnis dann mit C verknüpfen.
- Mit gleichem Recht könnte man A mit dem Ergebnis der Verknüpfung von B und C verknüpfen.

Geht es zum Beispiel um die Addition und sind die Zahlen 4, 17 und 2 beteiligt, so könnte man den Ausdruck ,,4+17+2'' sowohl als
(4+17)+2 als auch als
4+(17+2)
interpretieren. Im ersten Fall würde man auf 21+2, also auf 23 geführt werden, im zweiten zunächst auf 4+19 und danach ebenfalls auf 23.

Verknüpfungen, bei denen - wie eben im Fall der Addition - bei beiden Wegen das gleiche Ergebnis herauskommt, heißen assoziativ; man sagt auch, dass für diese Verknüpfung das Assoziativgesetz gilt.

Wissenswertes dazu

1. Die meisten Verknüpfungen, denen man begegnet, sind assoziativ: Addition, Multiplikation, Durchschnitte und Vereinigungen von Mengen bilden, logische Aussagen mit ,,UND'' und ,,ODER'' verknüpfen usw. Es ist aber nicht schwer, auch solche zu finden, die das Assoziativgesetz verletzen. Man könnte zum Beispiel für natürliche Zahlen die folgende Verknüpfung betrachten:

Gehe von n und m zu n^m über.

(Zur Erinnerung: n^m ist das Produkt n·n·n···n, wobei insgesamt m Faktoren auftreten.) Geht es dann um die Zahlen 3, 1 und 2, so gibt es für die Gesamtverknüpfung zwei Möglichkeiten, nämlich
(3¹)² und 3⁽¹²⁾.
Im ersten Fall ergibt sich 9, im zweiten 3; diese Verknüpfung ist also nicht assoziativ.

Sprache (Zusammenfügen von Substantiven) genügt übrigens auch nicht dem Assoziativgesetz: Bei einer ,,ABSCHLUSSKLASSENARBEIT'' weiß man ohne weitere Erläuterung nicht, ob es sich um die letzte Klassenarbeit oder die Arbeit einer Abschlussklasse handelt.

Ein weiteres Beispiel für mögliche Verwirrung durch fehlende Assoziativität war am 18. 1. 2001 im Berliner Tagesspiegel zu besichtigen. Da ging es um die Förderung von Schülern im Mathematikunterricht, die Kernaussage war:

,,Mädchen und Jungen aus Elternhäusern mit höherer Schulbildung werden besonders intensiv von ihren Lehrern gefördert.''

Im Einleitungssatz wurde die Aussage als ,,(Mädchen und Jungen) aus ...'' interpretiert, weiter unten stellte sich heraus, dass eigentlich ,,Mädchen und (Jungen aus ...)'' gemeint war.

Und noch ein Fundstück: ,,Justiz ermittelt nach Todesschüssen gegen Polizisten" (Tagesspiegel vom 30. 1. 01: Diese Überschrift kann auf zwei Arten verstanden werden).

Schließlich kann man die fehlende Assoziativität auch bewusst dazu einsetzen, um eine doppeldeutige Botschaft zu formulieren. Das wird manchmal in der Werbung verwendet, die Berliner S-Bahn warb kürzlich für ein ,,Schönes Wochenende Ticket''.

2. Gilt das Assoziativgesetz, so wird das Arbeiten viel einfacher. Egal, wie viele Objekte verknüpft werden: Man kann sich die Reihenfolge der Verknüpfung aussuchen, alle Möglichkeiten werden zum gleichen Ergebnis führen. Das hat zur Konsequenz, dass man nicht durch Klammern vorschreiben muss, was eigentlich gemeint ist, und dadurch wird alles viel übersichtlicher.

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Das Kommutativgesetz

a + b = b + a

Das Kommutativgesetz besagt, dass es auf die Reihenfolge bei der Verknüpfung nicht ankommt: Die Verknüpfung von a mit b führt stets zu genau dem gleichen Ergebnis wie die Verknüpfung von b mit a. Bekannte elementare Beispiele sind Addition und Multiplikation für Zahlen. Beispiele aus anderen Bereichen: Die ,,und" und die ,,oder"-Verknüpfung für Aussagen sowie die Durchschnitts- und die Vereinigungsbildung für Mengen sind kommutativ. Aber nicht alle Verknüpfungen haben diese Eigenschaft: Ordnet man zwei natürlichen Zahlen n und m den Quotienten n/m zu, so ist diese Operation nicht kommutativ, denn n/m ist im Allgemeinen von m/n verschieden.

Wissenswertes dazu

1. Im Gegensatz zum Assoziativgesetz, das für so gut wie alle praktisch vorkommenden Verknüpfungen gilt, ist das Kommutativgesetz für viele Situationen verletzt. Oft ist es so, dass Theorien, in denen dieses Gesetz gilt, dramatisch viel einfacher sind, als wenn man auf die Gültigkeit verzichten muss.
Ein auch schon in der Schule vorkommendes wichtiges Beispiel, für das das Kommutativgesetz verletzt ist, ist die Verknüpfung von Abbildungen. Sind zwei Abbildungen zum Beispiel durch
,,multipliziere mit drei'' und
,,quadriere!''
definiert, so entsprechen die Verknüpfungen - je nach Reihenfolge - den Abbildungen (3x)² und 3x². Da diese Abbildungen unterschiedlich sind, ist die Kommutativität verletzt.
2. Viele der bekannten Regeln für Verknüpfungen setzen das Kommutativgesetz voraus. Es spielt zum Beispiel beim Nachweis des Rechengesetzes

(a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ

für Potenzen eine wichtige Rolle.
3. In den physikalischen Anwendungen kann man oft Handlungen als mathematische Objekte und die Hintereinanderausführung als Verknüpfung interpretieren. Und dann spielt es eine wichtige Rolle, ob Kommutativität vorliegt oder nicht. In der Quantenmechanik zum Beispiel spielen Messungen die Rolle dieser ,,Handlungen''. Die Verletzung des Kommutativgesetzes erweist sich dort als tieferer Grund für die Heisenbergsche Unschärferelation, nach der Messungen verschiedener Aspekte (wie zum Beispiel Ort und Impuls eines Teilchens) in manchen Fällen nicht gleichzeitig scharf sein können.

Man braucht nicht die Quantenmechanik zu bemühen, um Beispiele für die Verletzung oder das Erfülltsein des Kommutativgesetzes bei der Verknüpfung von Handlungen zu finden. Denken Sie etwa an die folgenden Handlungen:
A: ,,Den linken Schuh anziehen!''
B: ,,Den rechten Schuh anziehen!''
C: ,,Hemd anziehen!''
D: ,,Pullover anziehen!''
A und B kommutieren, C und D aber nicht. (Übrigens kommutiert auch A mit C, weitere Beispiele finden Sie sicher selber.)

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Das Distributivgesetz

a · ( b + c ) = a · b + a · c

Im Gegensatz zum Assoziativ- und zum Kommutativgesetz sind hier zwei Verknüpfungen beteiligt. Handelt es sich um die zwei Verknüpfungen "+" und "·", so besagt das Distributivgesetz, dass stets

a·(b + c) = a·b + a·c

gilt.
Aus der Schule weiß man, dass das für die übliche Addition und Multiplikation von Zahlen stimmt. Es gibt aber viel mehr Beispiele, es gilt zum Beispiel auch für die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen, von Funktionen oder von quadratischen Matrizen.
Die beiden Verknüpfungen müssen nicht einmal eine Addition und eine Multiplikation sein. Es gibt zum Beispiel ein Distributivgesetz für Durchschnitts- und Vereinigungsbildung von Mengen (das heißt dann Morgansche Regel) und eins für die "und"- und "oder"-Verknüpfung von logischen Aussagen.

In der Logik liest sich das so:
Sind p, q und r Aussagen, so ist p und (q oder r) = (p und q) oder (p und r).

Wissenswertes dazu

1. Achtung: Die zwei Verknüpfungen, die im Distributivgesetz auftreten, sind nicht gleichberechtigt. Vertauscht man zum Beispiel im ,,üblichen" Distributivgesetz die Rollen von Plus und Mal, so ergibt sich die ,,Aussage"

a + (b·c) = (a+b)·(a+c) !!falsch!!

Man braucht nur irgendwelche Zahlen einzusetzen um zu sehen, dass das nicht stimmt.
2. Das Distributivgesetz hat wichtige Konsequenzen, zum Beispiel die, dass man Faktoren in beliebig lange Summen hineinziehen kann:

a·(b₁+b₂+ ··· +b_n)=a·b₁+a·b₂ +···+ a·b_n.

Als Formel mag das etwas abschreckend aussehen, die zugrunde liegende Tatsache kennt jede(r): Um zum Beispiel einen Gesamtpreis in Lire umzurechnen (Lire-Preis = 1000 mal DM-Preis), wenn ich die Einzelpreise und den Gesamtpreis in DM kenne, kann ich entweder die Einzel-Lire-Preise addieren (das entspricht der rechten Seite der Formel) oder gleich den den DM-Gesamtpreis in Lire umrechnen (linke Seite).
Und warum dann die Formel, wenn es intuitiv doch klar ist? Leider kann man nur mit Formeln wirklich strenge Beweise für alle vorkommenden Situationen führen.

3. Treten in einem mathematischen Bereich zwei Verknüpfungen gleichzeitig auf, so muss man sich immer fragen, inwieweit sie etwas miteinander zu tun haben. Das Distributivgesetz gilt dabei als der prominenteste Vertreter einer möglichen Verträglichkeitsbedingung.