Axiom
Mathematische Theorien sind axiomatisch aufgebaut, was ist darüber zu sagen?
Vereinfacht ausgedrückt sind Axiome Vereinbarungen, nicht immer noch weitere "Warum-ist-das-so?" Fragen zu stellen. Wollte man immer weiter in die Tiefe gehen, so käme man nie an ein Ende, nie könnte es mit der eigentlichen Mathematik so richtig los gehen. In der Geometrie z. B. könnte man lange darüber streiten, was ein Punkt ist, in der Zahlentheorie würde man sich immer neue Gedanken zum Zahlbegriff machen usw.
Das wäre so wie bei Kindern, die auch schnell feststellen, dass es zu jeder Antwort auf eine Warum-Frage eine neue Warum-Frage gibt.In der Geometrie z.B. ist man zum ersten Mal in der Geschichte der Mathematik axiomatisch vorgegangen: Vor über 2000 Jahren legte Euklid in den "Elementen" ein axiomatisches Fundament, das zum Vorbild für viele andere Wissenschaften, insbesondere auch für die anderen Teile der Mathematik wurde. Es besagt, vereinfacht ausgedrückt: Was "Punkt", "Gerade" usw. bedeutet und welche Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind, darüber setzen wir Einverständnis voraus. Ende der Diskussion, Beginn der eigentlichen Arbeit!
Heute ist es so, dass axiomatische Theorien in der Mengenlehre verankert werden. Die Mengenlehre ist als axiomatisches Fundament deswegen so gut geeignet, weil man wenige Axiome zur Beschreibung braucht. Am Anfang muss man eigentlich nur wissen, dass eine Menge eine Zusammenfassung von gewissen Objekten zu einem neuen, eigenständigen Objekt ist.
Das ist überhaupt nichts besonderes, im täglichen Leben macht man es laufend so: "Streicher" ist der zusammenfassende Name für Violine, Bratsche, Cello und Kontrabass, "Hauptstädte Europas" die aus Athen, Berlin,..., Helsinki bestehende Menge usw.Wenn also eine Theorie durch einen Satz der Form
"Objekte der Theorie sind Mengen M mit der Eigenschaft soundso",beschrieben wird, so kann man sich Diskussionen über Fragen ersparen, die zur Mengenlehre gehören.
Ein Beispiel: In der Gruppentheorie geht es so los:
Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer inneren Komposition "*", die
die folgenden drei Eigenschaften hat:
| 1) | Sie ist assoziativ. |
| 2) | Es gibt ein Element e, genannt neutrales Element, so dass e*x = x*e = x für alle x. |
| 3) | Zu jedem x gibt es ein y mit x*y = y*x = e, y heißt das zu x inverse Element. |
[Als konkretes Beispiel für eine Gruppe können Sie an die ganzen Zahlen denken: G = Z, und für * setzen wir + ein. Die Null ist dann das neutrale Element, und um zu einem x das inverse Element zu finden, setzen wir einfach ein Minus davor: Das Inverse zu 5 ist -5, das Inverse zu -12 ist -(-12) (also 12), das inverse Element zu 0 ist-0, also =0.]
Epilog: Die Mathematiker würden natürlich gern bis zum wirklich allerletzten, nicht mehr hinterfragbaren Grund der Dinge vorstoßen. Es ist lange vergeblich versucht worden, nun sind sie mit der axiomatischen Methode ganz zufrieden.
