Beweis

Die Arbeit vieler Mathematiker kann man sich so vorstellen:

Er ist Spezialist für die Theorie T (etwa Gruppentheorie, Zahlentheorie) und hat dort viel Erfolg. Nun kommt er aufgrund konkreter Beispiele, Intuition und ein bisschen Glück zu einer Vermutung: Eine bestimmte Aussage der Theorie könnte doch wohl immer richtig sein. Und nun muss ein Beweis her! Er muss begründen, dass die fragliche Aussage immer gilt.

Wenn er das (oft genug) schafft, ist er hoch angesehen, kann seine Position verbessern und Studenten zu interessanten neuen Arbeiten anregen. Er findet seinen Namen in Lehrbüchern ("Satz von XXX"), mit etwas Glück wird das Ergebnis auch gebraucht, um konkrete, die Welt betreffende Fragen lösen zu können.

Etwas ausführlicher:

1.) Als erstes muss man wissen, was eine sinnvolle Aussage ist. Das ist einfach eine, die im Rahmen der Theorie so formuliert werden kann, dass alle wissen, was gemeint ist und man zweifelsfrei entscheiden kann, ob sie richtig oder falsch ist. So sind

7 + 3 = 10 ,     12 - 3 = 212 und
für alle x ist x³ + x = x ( x² + 1 )

2.) Mathematik untersucht Aussagen des Typs

p => q (gesprochen p folgt q).

Um nachzuprüfen, ob das im konkreten Einzelfall stimmt, sind viele Methoden entwickelt worden: direkte und indirekte Beweise, Beweise durch Kontraposition usw. Im Grunde ist es aber ganz einfach. Wenn man die Axiome der Theorie mit der Logik des gesunden Menschenverstands behandelt, kommt man als Mathematiker ganz gut durchs Leben.

Beweise können sehr schwierig zu verstehen sein. Vermutlich gibt es auf der Welt nur eine Handvoll Menschen, die die besonders anspruchsvollen (wie z. B. den Beweis der Lösung des Fermatproblems durch Wiles) vollständig verstanden haben. Alles wird auch dadurch ein bisschen kompliziert, dass die Standards sich immer wieder ändern. Was Newton, Euler und Cauchy bewiesen haben, würde heute in einigen Fällen nicht als strenger Beweis durchgehen; ganz sicher kann man nicht sein, wie in naher oder gar ferner Zukunft über unsere Beweise befunden wird. Interessant wird auch sein, wie die Fachleute zum Thema "Computer und Beweise" stehen werden. Ist eine Aussage bewiesen, wenn ein Computer meint: "Ja, das stimmt, ich habe alle 143 739 873 Fälle nachgeprüft!"?

Ein sehr einfaches Beispiel:

Die Aussage: Wenn für eine Zahl x die Gleichung

x + 3 = 9

Der Beweis: Wenn x + 3 = 9 gilt, so addiere auf beiden Seiten die Zahl -3. Rechts ergibt sich 6, links (x + 3) - 3, und das ist (wegen des Assoziativgesetzes, der Gleichung 3 + (-3) = 0 und der Gleichung x + 0 = x) gleich x.

Im Folgenden wollen wir ein paar Beweismethoden vorstellen. Es gibt keine einheitliche Vorgabe, wie man einen Beweis führt, aber natürlich sollte man am Ende auf das richtige Ergebnis kommen und der Weg dorthin auf eine Weise erfolgen, die logisch schlüssig und den gegebenen mathematischen Gesetzen folgend ist. Nur die Art, zu diesem richtigen Ergebnis mit logisch richtigen Schlüssen zu kommen, kann verschieden sein. Die gängigsten Methoden stellen wir nun vor:

1. Direkter Beweis:

Ein direkter Beweis ist die zugänglichste Beweismethode, da man einfach eine Vermutung so "umformt", dass man direkt zum gewünschten Ergebnis kommt.

Beispiel:
Beweise ein erweitertes Distributivgesetz: a(b + c + d) = ab + ac +ad.
Ein direkter Beweis dieser Gleichung läuft jetzt nach folgendem Schema: Wir nehmen uns die linke Seite der Gleichung und formen sie so lange um, bis wir zur rechten Seite gekommen sind.

a(b + c + d) = a(b + (c + d)) = ab + a(c + d) = ab +ac +ad.

2. Beweis durch Widerspruch:

Eine weitere Möglichkeit einen Beweis zu führen, ist die Methode des Beweises durch Widerspruch. Diese Methode wird oftmals angewendet, um Aussagen zu widerlegen, also um zu beweisen, dass eine vorgegebene Aussage falsch ist.
Die Vorgehensweise ist folgende: Man nimmt an, die Aussage sei wahr, folgert daraus weitere Aussagen und kommt irgendwann auf einen Widerspruch. Damit kann man dann mit Sicherheit aussagen, dass die Annahme falsch war.

Beispiel:
Wir wollen zeigen, dass die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist.
Für den Beweis durch Widerspruch nehmen wir an, die Wurzel aus 2 sei rational. Sie lässt sich also als Bruch p/q schreiben, wobei p und q teilerfremd sind, d.h. der Bruch gekürzt ist. Quadriert man nun beide Seiten, so kommt man zu:
2 = p²/q², oder anders ausgedrückt 2q² = p².
Also muss p² und somit auch p eine gerade Zahl sein.
Ist jedoch p gerade, so folgt wegen der Teilerfremdheit, dass q ungerade ist.
Teilt man nun die Gleichung 2q² = p² durch 2, so erhält man, dass q² gleich einer geraden Zahl und somit auch q gerade sein muss.
Dies ist jedoch der gewünschte Widerspruch. Wir können also schließen, dass Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist.

3. Beweis durch vollständige Induktion:

Manche Vermutungen sind folgender Art: Eine bestimmte Eigenschaft gilt für alle natürlichen Zahlen. Diese Eigenschaft für alle natürlichen Zahlen explizit durchrechnen zu wollen, ist hoffnungslos. Daher behilft man sich mit der Methode der vollständigen Induktion. Man prüft die Eigenschaft für die kleinste Zahl k, für die die Vermutung gelten soll. Dann zeigt man Folgendes: Gilt die Eigenschaft für eine beliebige natürliche Zahl n (größer oder gleich k), so gilt die Eigenschaft auch für n+1. Hat man diese beiden Schritte gezeigt, so hat man bewiesen, dass die Eigenschaft für jede natürliche Zahl n, die größer oder gleich k ist, gilt.

Beispiel: Zeige, dass für natürliche Zahlen immer gilt: 1+2+...+n=n(n+1)/2.
Hier der Beweis durch vollständige Induktion:
1. Induktionsanfang: Zeige die Behauptung für n=1

1=1(1+1)/2=2/2=1

1+2+...+n+(n+1) = (1+2+...+n)+(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)
= n(n+1)/2 + (2n+2)/2 = (n²+n+2n+2)/2 = (n²+3n+2)/2
= (n+1)(n+2)/2

Aus dem Bild wird das eben gezeigte Ergebnis nochmal geometrisch deutlich.