Vektoren / Dimension

Dass eine Ebene zweidimensional und der Raum dreidimensional ist, hat sich ja schon allgemein herumgesprochen. Was aber meinen Mathematiker, wenn sie von einem vier- oder gar 22-dimensionalen Raum sprechen? Wie stellen sie sich den vor, wozu braucht man so etwas überhaupt?

Zunächst: Man braucht die vielen Dimensionen wirklich. Wer sich einmal mit Physik beschäftigt hat, weiß, dass die Raum-Zeit ein vierdimensionales Gebilde ist, bei komplizierteren Modellen unserer Welt treten -- wie z. B. in der Stringtheorie -- auch noch viel mehr Dimensionen auf.

Der n-dimensionale Raum

Denken Sie sich irgendeine natürlich Zahl, traditionell heißt sie n. Hier wird alles für n = 5 erklärt, es geht genausogut mit n = 1 oder n = 500000 oder ... An diesem n wird nun nichts mehr verändert, es bleibt für den Rest des Abschnitts fixiert.

Zunächst wird erklärt, was ein Vektor ist: Ein Vektor ist nichts weiter als eine Folge von n reellen Zahlen. [Da hier n = 5 gewählt war, sehen Beispiele für Vektoren so aus:

(3, 2.4, -2, 0, 0),   (-1, -2, 0, 3.4, 104.5).

(0, 3, 0, 6.5, 9.23, 8, -3),   (130, -2000, 41.234, 0.009, 3.67, 2, -8).)]

Der n-dimensionale Raum ist dann nichts weiter als die Menge dieser Vektoren, der Fachausdruck dafür ist Rⁿ (gesprochen: "r hoch n" oder einfach "r n"). Er hat einige Eigenschaften, die man von Zahlen her kennt. Man kann seine Elemente, die Vektoren, z. B. addieren. Das macht man so, dass man einfach die Komponenten addiert, z. B. ist die Summe der Vektoren (3, 2.4, -2, 0, 0) und (-1, -2, 0, 3.4, 104.5) der Vektor (3 + (-1), 2.4 + (-2), -2 + 0, 0 + 3.4, 0 + 104.5), also (2, 0.4, -2, 3.4, 104.5). Man schreibt dafür

(3, 2.4, -2, 0, 0) + (-1, -2, 0, 3.4, 104.5) = (2, 0.4, -2, 3.4, 104.5),

[Dann gibt es einige Parallelen zu den Eigenschaften von Zahlen. Z. B. gibt es einen Vektor, nämlich (0, 0, 0, 0, 0), der bei der Addition nichts verändert. Er entspricht der Null bei den Zahlen.]

Genauso einfach kann man Vektoren mit Zahlen malnehmen, das geht wieder komponentenweise. Z. B. wird 7 mal (2, -5, 3, 2.1, -31) als (14, -35, 21, 14.7, -217) erklärt, in Kurzform als

7 ^. (2, -5, 3, 2.1, -31) = (14, -35, 21, 14.7, -217).

Dimension

Warum heißt dieses Gebilde nun eigentlich n-dimensional, warum ist der R⁵ z. B. 5-dimensional? Die Begründung: Um ein Element dieses Raumes festzulegen, sind genau n reelle Zahlen erforderlich. Weniger reichen nicht, und mehr wären zuviel.

Das wird in der Mathematik noch allgemeiner, also nicht nur bei Vektorräumen, so gemacht. Wenn z. B. eine Größe durch 27 Zahlen eindeutig festgelegt ist (und es mit 26 nicht geht), spricht man von einem 27-dimensionalen Raum. (Ehrlicherweise muss zugegeben werden, dass das eine ziemlich starke Vereinfachung ist.)

Zwei Beispiele: 1.) Um einen Punkt auf einer Linie -- etwa einer Spirale -- festzulegen, muss man doch nur einen Punkt der Linie als Startpunkt auszeichnen und dann zur eindeutigen Beschreibung eines anderen Punktes angeben, wieviele cm er vom Startpunkt entfernt ist, die eine Richtung bekommt dabei das Vorzeichen "+", die andere "-". Um z. B. zu Punkt 5.3 (bzw. -6.1) zu kommen, soll man einfach 5.3 cm nach rechts (bzw. 6.1 cm nach links) gehen.

Folgerung: Linien sind 1-dimensional

2.) Als zweites Beispiel betrachten wir eine Kugeloberfläche, z. B. die Erdoberfläche. Wie bekannt, kann man Punkte durch Angabe von Längen- und Breitengrad beschreiben. Das heißt: Kugeloberflächen sind zweidimensional.

Genauso ist die Ebene zweidimensional, die meisten werden die Beschreibung durch x- und y-Koordinaten in der Schule kennengelernt haben.

Randbemerkung: Man nennt diese Koordinaten bekanntlich kartesische Koordinaten, Namensgeber ist der französische Philosoph René Descartes, der als erster den Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra systematisch untersuchte (1632). Kartesische Koordinaten verwendete er allerdings noch nicht, die wurden erst im 18. Jahrhundert eingeführt.

Der 7-dimensionale Kuchen

Um zu verdeutlichen, dass uns höherdimensionale Räume im täglichen Leben wohlvertraut sind, beginnen wir mit einem etwas gewagten Beispiel. Ein Kuchenrezept besteht doch im wesentlichen aus der Angabe der Mengen der einzelnen Zutaten. Z. B. Mehl, Butter, Zucker, Quark, Salz, Milch, Eier (alles in Gramm gemessen). Jedesmal, wenn 7 Zahlen festgelegt sind, erhalten wir ein Kuchenrezept (wobei hier allerdings nur positive Zahlen auftreten, nicht alle werden gut schmecken). Kurz: Die Menge der Kuchenrezepte ist 7-dimensional.

Dieses Beispiel ist eigentlich nur dazu da, den Begriff "Dimension" zu illustrieren. Ernsthafte Beispiele gibt es beim Lösen von Gleichungssystemen (da bilden die Unbekannten die Komponenten des gesuchten Vektors) und in der Physik (z. B. ist die Raum-Zeit 4-dimensional).

Wo bleibt die Vorstellung?

1-, 2- und 3-dimensionale Räume kann man sich gut vorstellen: Linie, Fläche, Raum. Für höhere Dimensionen versagt diese Vorstellung, auch Mathematiker können da nicht mehr als jeder andere.

Da Bilder wichtig sind, gibt es eine Notlösung: Man stellt sich den n-dimensionalen Raum im wesentlichen wie den 2-dimensionalen vor, hat aber immer im Hinterkopf, dass da etwas Wesentliches fehlt. Es ist dann allerdings nicht einfach, Fehler zu vermeiden.

Oder man verzichtet ganz auf Bilder und rechnet einfach.

Unendlich viele Dimensionen?

Wenn ein Mathematiker erzählt, dass er sich mit unendlich-dimensionalen Räumen beschäftigt, so lässt das nicht unbedingt darauf schließen, dass seine Probleme sehr viel schwieriger sind. Es wird nur ausgedrückt, dass zur Beschreibung der Objekte, die ihn interessieren, endlich viele Zahlen nicht ausreichen.

Z. B. kann man eine auf einem Intervall definierte Funktion nicht dadurch eindeutig festlegen, dass man nur endlich viele Zahlen angibt. Und deswegen arbeitet man in einem unendlich-dimensionalen Raum, wenn man Funktionen studiert. Auch wenn das so harmlose gute alte Bekannte sind wie x², die Sinusfunktion oder was man sonst so in der Schule kennenlernt.