Endlich/Unendlich

Wie beherrschen Mathematiker die Unendlichkeit, was ist das eigentlich? Mehrere Aspekte sind zu unterscheiden, hier gibt es Kurzinformationen zu

"" als Grenzwert

"" als Zahl

Endlich vs. unendlich:

Wer zählen kann, kann auch verstehen, was endliche Mengen sind. Zunächst muss man wissen, was natürliche Zahlen sind, das sind die, die schon jedes Kleinkind zum Zählen braucht: 1,2,3,...

a) Eine Menge wird endlich genannt, wenn es eine natürliche Zahl n so gibt, dass man sie mit den Zahlen von 1 bis n durchnummerieren kann.

Die Menge {schwarz, rot, gold} ist endlich, denn wenn man sie abzählt, ist man bei n = 3 fertig.

b) Eine Menge heißt unendlich, wenn sie nicht endlich ist. Z. B. ist die Menge aller natürlichen Zahlen unendlich, man sagt auch, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.

c) Endliche Mengen sind deswegen so einfach, weil man für sie - wenigstens im Prinzip - alle Probleme lösen kann: Man muss ja nur alle Elemente nacheinander betrachten, für allgemeine Aussagen ist die vollständigen Induktion zuständig. Auch für die kritischsten mathematischen Philosophen stellen endliche Mengen und Konstruktionen, die mit endlich vielen Schritten auskommen, kein Problem dar.

Unendliche Mengen:

Georg Cantor war der Erste, der das Unendliche im Bereich der Mengen systematisch untersuchte.

Zunächst definierte er, dass zwei Mengen M und N "gleich groß" heißen sollen, wenn man ihre Elemente in eine eineindeutige Beziehung bringen kann. Vereinfacht heißt das: Man kann die Elemente von M zum Nummerieren von N verwenden.

Z. B. kann man die natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... zum Nummerieren der Quadratzahlen 1², 2², 3², ... verwenden; also sind die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen "gleich groß".

(Die exakte Definition ist etwas anspruchsvoller: "gleich groß" bedeutet, dass es ein Abbildung f : M --> N mit den folgenden zwei Eigenschaften gibt:

1. für x, y aus M, x ungleich y gilt stets f(x) ungleich f(y).
2. für jedes z aus N gibt es ein x aus M mit f(x) = z.)

Als nächstes erklärte er, was "M hat höchstens so viele Elemente wie N (eher weniger)" bedeuten soll: Es muss eine Abbildung mit der vorstehend beschriebenen Eigenschaft (1.) geben. Wir wollen hier der Einfachheit halber |M| kleiner/gleich |N| schreiben, wenn das erfüllt ist.

Bemerkenswert sind dann die folgenden Tatsachen:

a) Beschränkt man sich auf endliche Mengen, so kommt das heraus, was jeder erwarten würde: Die Mengen {1, 2, 3} und {Montag, Dienstag, Sonntag} sind gleich groß,
|{4, 5}| kleiner/gleich |{6, 7, 8}| usw.

b) Im Bereich unendlicher Mengen treten merkwürdige Phänomene auf: Z. B. kann eine echte Teilmenge genau so viele Elemente haben wie die Menge selber: Das haben wir weiter oben bei den natürlichen Zahlen und den Quadratzahlen gesehen.

c) Berühmt sind die folgenden auf Cantor zurückgehenden Ergebnisse (mehr dazu finden Sie bei Abzählbar vs. Überabzählbar):

Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen haben gleich viele Elemente (naiv würde man erwarten, dass es viel mehr rationale als natürliche Zahlen gibt).

Es gibt beweisbar mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen. Anders ausgedrückt: Es ist unmöglich, die reellen Zahlen so untereinander in einer (beliebig langen) Spalte anzuordnen, dass jede einmal vorkommt.

d) Es gibt keine Menge mit den meisten Elementen: Egal wie groß M ist, man kann N so finden, dass |M| kleiner/gleich |N| ist, aber M und N nicht gleich viele Elemente haben. (N kann z. B. als Menge der Teilmengen von M gewählt werden.)

"" als Grenzwert:

Wenn man sagt, dass eine Folge reeller Zahlen, z. B. die Folge 1, 4, 9, 16, ... "gegen Unendlich strebt", so soll das nur heißen, dass sie jede Grenze überschreitet: Egal wie groß man eine Zahl c vorschreibt, die Folge wird von irgend einem Index an nur noch Werte annehmen, die größer als c sind.

"unendlich klein":

Eine nicht negative Zahl könnte doch nur dann zu Recht "unendlich klein" genannt werden, wenn sie kleiner ist als jede andere positive Zahl. Davon gibt es nur eine, nämlich die Null. Mit "klein" ist hier ein kleiner Abstand zur Null gemeint, in diesem Sinne sind "große" negative Zahlen wie z.B. -3.434.123 keine sehr kleinen Zahlen. Und das ist alles andere als bemerkenswert.

Das ist das heutige Verständnis, man sah es aber nicht immer so. Bis zu Beginn des 19. Jahrhunderts geisterten "unendlich kleine Größen" durch die Mathematik, nur wenige Mathematiker konnten mit diesen Größen intuitiv richtig arbeiten. Heute gibt es sie nicht mehr, ein Segen für alle Studierenden der Mathematik.

(Die ganze Wahrheit ist etwas komplizierter: In den sechziger Jahren wurde eine Theorie entwickelt, die Nonstandard-Analysis, in der unendlich kleine Größen auf eine axiomatische Grundlage gestellt wurden. Diese Theorie ist allerdings so kompliziert, dass sie fast nur in Spezialistenkreisen diskutiert wird.)