Existenz

Was meint ein Mathematiker, wenn er sagt: "Es gibt ein x mit den und den Eigenschaften"? Etwa

"Es gibt eine reelle Zahl x mit x² = 119."
"Es gibt einen kürzesten Weg von A nach B."

Das ist eine heikle Frage, die Antwort führt schon in die Anfangsgründe der Philosophie der Mathematik.

Zunächst ist klar, dass "es gibt" nicht im materiellen Sinn gemeint sein kann. In keinem Museum der Welt ist die Kreiszahl pi aufbewahrt, so wie man etwa das Urmeter in einem Museum bei Paris findet. Was aber dann?

1. Der formalistische Standpunkt:

Für Formalisten ist das ganze ein Scheinproblem. "Es existiert" ist nur eine Abkürzung für "Wenn man die Axiome A₁, A₂, ... postuliert (unter denen es auch Existenzaxiome gibt), so lässt sich darauf auf die Existenz von Elementen mit anderen Eigenschaften schließen".

Zum Beispiel ist "Es gibt ein x mit x² = 119" eine Abkürzung für "Aus den Axiomen der reellen Zahlen, also den Körper- und Ordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom, lässt sich mit zulässigen Beweisen schließen, dass es ein x mit x² = 119 gibt".

Das ist der für Mathematiker sicherste philosophische Standpunkt, weitere Diskussionen sind kaum zu befürchten.

2. Der platonische Standpunkt:

Ein Platonist stellt sich vor, dass es die Objekte der Mathematik irgendwo, irgendwie gibt. (Der Name leitet sich von der Ideenlehre des Philosophen Platon her, der sich alle Ideen als ganz real im Reich der Ideen existierend vorstellte.) Für ihn war es schon immer richtig, dass der Satz des Pythagoras gilt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt usw. Diese Tatsachen wurden von uns Menschen nach und nach entdeckt.

Dieser Standpunkt ist unter Mathematikern sehr weit verbreitet, für die stark überwiegende Mehrheit stellt sich ihr Fach so dar. Das liegt unter anderem daran, dass nach genügend langer intensiver Auseinandersetzung mit einem mathematischen Teilbereich die Objekte einem ähnlich real vorkommen wie etwa der schiefe Turm von Pisa, über den man eine Menge weiß, den man vielleicht ja auch noch nie konkret gesehen hat.

Vorsicht: Diesen Standpunkt behält man besser für sich, sonst kommen Nachfragen ("Wo sind denn nun genau die Kreise, Wahrscheinlichkeitsräume, Vektoren, ...").

3. Der konstruktivistische Standpunkt:

Da werden sehr strenge Maßstäbe angelegt. Für einen Konstruktivisten existiert etwas erst dann, wenn man - ausgehend von allerelementarsten Wahrheiten über natürliche Zahlen - ein Verfahren angeben kann, um das Objekt mit den gewünschten Eigenschaften auch wirklich in jeder vorgegebenen Präzision zu konstruieren.

Ein sehr sympathischer Brauch, da der übliche liberale Gebrauch der Mengenlehre auch Konstruktionen zulässt, die einen nachdenklich stimmen können.

Zum Beispiel ist es völlig legitim, eine Abblidung dadurch zu definieren, dass man vorschreibt: f : [0,1] --> {0, 1}. f(x) soll "0" sein, wenn die 10¹⁰⁰⁰⁰⁰ Stelle von x ungerade ist, andernfalls soll f(x) = "1" sein.

Da weiß man von fast keiner Zahl, welchen Wert f(x) hat. Für Konstruktivisten ist das nicht zulässig definiert.

Wie gesagt, sehr sympathisch, aber wohl leider auf der Liste der aussterbenden -ismen.