Gleichheit und Ordnung

Zu den wichtigsten mathematischen Grundstrukturen gehören "Gleichheit" und "Ordnung". Was verstehen Mathematiker darunter? Die Grundidee ist jeweils recht leicht zu vermitteln, für die wirklich präzise Erklärung muss man einige Vokabeln kennen. (Sie betreffen Relationen und ihre Eigenschaften, man findet sie weiter unten.)

Was ist Gleichheit in der Mathematik?

x = y

Was ist Gleichheit im Leben? Gleichheit im Sinn von Identität wollen wir hier ausklammern: Um uns in der Welt zurecht zu finden, müssen wir gewisse Objekte identifizieren und unter verschiedenen Blickwinkeln und sonstigen veränderten Wahrnehmungsbedingungen als gleich erkennen können. Wie das Gehirn das schafft und welche philosophischen Probleme davon berührt werden, kann hier nicht diskutiert werden.
Interessanter ist ein anderer Gleichheitsbegriff, man könnte ihn mit "Gleichheit in Bezug auf ..." beschrieben. Wenn man zum Beispiel sagt, dass Herr A das gleiche Auto fährt wie Frau B, dann bezieht sich "gleich" nicht auf das individuelle Auto sondern nur auf die Marke. Ein weiteres Beispiel: Ein Zwanzigeuroschein ist "gleich" zwei Zehneuroscheinen, wenn ich damit im Restaurant zahlen soll. Ist ein Zweieurostück auch "gleich" zwei einzelnen Eineurostücken? Das hängt von den Umständen ab: Es stimmt sicher, wenn ich am Kiosk eine Zeitung bezahlen möchte, es ist aber falsch, wenn ich eine Münze für die Umkleidekabine im Schwimmbad brauche.
Weiter: Ein Fahrschein ist "gleich" einer Eintrittskarte, wenn ich dringend ein Stück Papier brauche, um eine Telefonnummer zu notieren, und fürs Notieren ist ein Bleistiftstummel "gleich" einem Füllfederhalter für 1000 Euro.

Dieses "gleich in Bezug auf ..." tritt in der Mathematik in zwei Versionen auf. Erstens trifft man es als so genannte Äquivalenzrelation an. Das ist nichts weiter als eine präzise Art zu sagen, dass man in einem gewissen Bereich zwei Objekte in einer bestimmten Hinsicht als gleich ansehen möchte.
Es könnte zum Beispiel sein, dass zwei natürliche Zahlen m und n "gleich" genannt werden, wenn ihre Differenz durch sieben teilbar ist. Dann lassen sie nämlich beim Teilen durch sieben den gleichen Rest, in Bezug auf "Rest beim Teilen durch sieben" sind sie völlig gleichwertig.

Manchmal spielt dieser Gleichheitsbegriff auch für Nichtmathematiker eine Rolle: Wenn m und n in diesem Sinne gleich sind, dann wird in m Tagen der gleiche Wochentag sein wie in n Tagen.)

Heute meint man, dass die angemessene präzise Fassung in der Mathematik so aussieht:

Ein Gleichheitsbegriff ist eine Relation, die reflexiv, transitiv und symmetrisch ist; der Fachausdruck ist "Äquivalenzrelation". (Wenn Sie die Begriffe Relation usw. nicht kennen, es aber trotzdem etwas genauer wissen wollen: Erklärungen finden Sie weiter unten.)

Es gibt noch eine zweiten Aspekt von Gleichheit, er ist unter dem Fachausdruck Isomorphie bekannt. Dabei geht es darum auszudrücken, wann zwei mathematische Bereiche in Bezug auf bestimmte Fragestellungen gleichwertig sind.
Mal angenommen, es geht einfach um Mengen. Wenn ich jemandem ein Beispiel für eine vierelementige Menge geben möchte, so kann ich diejenige wählen, die aus den Zahlen 1, 2, 3, und 4 besteht. Es hätte aber auch die Menge mit den Elementen 4, 6, 8, 10 sein können, die Möglichkeiten für weitere Beispiele sind unerschöpflich. Etwas präziser: Zwei Mengen heißen gleichwertig (Fachausdruck: als Mengen isomorph), wenn sich ihre Elemente in eine eineindeutige Beziehung zueinander setzen lassen.

Schon wieder ein neuer Begriff, was ist denn eine "eineindeutige Beziehung zueinander"? Es soll nur bedeuten, dass es aufgeht, wenn Sie aus beiden Mengen je ein Element herausgreifen, beide beiseite legen und das so lange fortsetzen, bis Sie keine Paare mehr bilden können; weder in der einen noch in der anderen Menge soll dann noch etwas übrig sein.
Denken Sie als Beispiel an eine unaufgeräumte Küchenschublade, die einen Stapel Messer und Gabeln enthält. Wenn Sie da paarweise je ein Messer und eine Gabel herausnehmen und am Ende die Schublade leer ist (keine Messer übrig, keine Gabeln übrig), so wissen Sie, dass die Anzahlen gleich waren. Und das bemerkenswerterweise, ohne eine Idee davon haben zu müssen, um wieviele Messer und Gabeln es denn nun eigentlich geht. Anders ausgedrückt: Man kann Mengen als gleich erkennen, ohne zählen zu können.
Auf gleiche Weise kann man - ebenfals, ohne zählen zu können - auch die größere von beiden Mengen erkennen, wenn die Elementanzahl verschieden war: Blieben bei der Schubladen-Aufräumaktion Gabeln übrig, so gab es mehr Gabeln als Messer.
(Zugegeben, ganz so einfach ist es bei beliebigen Mengen nicht. Im Fall unendlich vieler Elemente muss man schon etwas sorgfältiger argumentieren. Die Grundidee ist aber die gleiche.)

Die Idee muss etwas modifiziert werden, wenn kompliziertere mathematische Bereiche als einfach nur Mengen untersucht werden. Geht es etwa um Zahlen, die man addieren kann, so wird man zwei derartige Zahlbereiche nicht schon dann gleich nennen, wenn die Elemente in eine eineindeutige Beziehung gesetzt werden können. Man muss auch noch verlangen, dass dieses In-Beziehung-Setzen die Addition respektiert, um diesen zusätzliche Aspekt mit zu berücksichtigen.

Der Zahlbereich der ganzen Zahlen, also ...,-2,-1,0,1,2,.. zusammen mit der üblichen Addition ist in diesem Sinne völlig gleichwertig zu den Zahlen ...,-20,-10,0,10,20,.. mit der Addition. Das In-Beziehung-Setzen ist einfach die Multiplikation mit zehn.

Zusammen: Wenn sich Mathematiker mit irgendwelchen Bereichen beschäftigen, so versuchen sie, sich auf das Wesentliche zu konzentrieren. Und das bedeutet, dass sie Bereiche, die sich in Bezug auf eine spezielle Struktur nicht unterscheiden, in diesem Zusammenhang als gleich ansehen. Sie haben dafür den Fachausdruck Isomorphie, sprechen von isomorphen Mengen, isomorphen Gruppen usw. Es handelt sich aber wirklich nur um eine für die Mathematik angemessene Präzisierung des "gleich in Bezug auf ..." aus dem täglichen Leben.

Was bedeutet "Ordnung" in der Mathematik?

a < b

Die meisten Aspekte von dem, was Mathematiker am Thema "Ordnung" interessant finden, trifft man schon im täglichen Leben an. Allgemein geht es doch darum, zwei Elemente eines Bereich zu vergleichen und eventuell das eine "besser" zu finden.
Manchmal ist es einfach, nämlich sicher dann, wenn der Nutzen durch eine einzige (reelle) Zahl gemessen wird, denn solche Zahlen kann man immer vergleichen. So wird bei vielen sportlichen Disziplinen der/die Beste ermittelt.
Komplizierter wird es, wenn mehrere Gesichtspunkte eine Rolle spielen. Klar ist, dass ein Schüler mit den Noten zwei und drei auf dem Zeugnis wohl "besser" ist als einer, der in allen Fächern nur Vieren hat. Was aber, wenn der zweite in einem speziellen Fach der Superstar der Schule ist, zum Beispiel Sieger im Bundeswettbewerb Mathematik? Moral: In vielen Fällen ist durchaus nicht klar, wie man sinnvoll eine Ordnung im Sinne einer Rangfolge definieren soll und wie die denn aussehen sollte.
Nun zur Mathematik. Auch da gibt es Situationen in Hülle und Fülle, wo man Objekte miteinander vergleichen möchte: Mengen, Funktionen usw. Als Laie muss man nur zwei Dinge dazu wissen:

1. Mathematiker haben sich dem Thema "Ordnung" axiomatisch genähert. Sie sprechen von einem geordneten Raum, wenn sie eine Menge mit einer sogenannten Ordnungsrelation versehen haben. Das soll bedeuten, dass sie auf dieser Menge eine Relation betrachten, die reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. (Etwas mehr Einzelheiten finden Interessierte nachstehend.)
Das klingt vielleicht furchterregend, ist aber nur die axiomatische Formulierung von dem, was jede(r) von einer vernünftigen Größer-Definition verlangen würde. Die Transitivität besagt in diesem Zusammenhang nur: Sehe ich A größer als B und gleichzeitig B größer als C an, so soll ich auch A größer als C ansehen.
Auf diese Weise lassen sich so verschiedene Fragestellungen wie "Vergleich von Zahlen", "Vergleich von Funktionen", "Vergleich von Mengen" einheitlich behandeln.
2. Verglichen wird oft auch dadurch, dass man jedem Objekt eine Zahl zuordnet und dann die jeweiligen Zahlen betrachtet. (Ein Beispiel aus dem Leben: So macht man es etwa beim Zehnkampf. Für jeden Teil-Wettbewerb gibt es Punkte, und Sieger ist, wer die meisten Punkte hat. Wollte man nur dann einen Sieger ausrufen, wenn der in allen Teildisziplinen gesiegt hat, so gäbe es so gut wie nie eine Siegerehrung.)
Es ist zu betonen, dass die Wahl dieser Zuordnung - man spricht von einer Zielfunktion - in Anwendungsfällen überwiegend Sache der Nichtmathematiker ist. Es macht schon einen gewaltigen Unterschied, ob man bei einem Produkt die Langlebigkeit, den Gewinn für das Unternehmen, die Wirtschaftlichkeit im Gebrauch oder sonst etwas optimieren möchte. Die Mathematik zur Lösung des Problems ist davon unabhängig.
Auf diese eigentlich offensichtliche Tatsache wird hier deswegen hingewiesen, weil manchmal der Eindruck erweckt wird, als wenn durch den Einsatz von Mathematik alles irgendwie wertfrei und objektiv würde. Es ist im Gegenteil so, dass die wichtigen Vorentscheidungen mit Mathematik oft gar nichts zu tun haben.

Relationen

Wenn man sich - im Leben oder in der Mathematik - mit irgendeinem Teilbereich auseinandersetzt, so möchte man manchmal betonen, dass zwei Objekte in einer besonderen Beziehung zueinander stehen: Menschen können verwandt sein oder auch nicht, sie können sich duzen, lieben, hassen und so weiter. Zahlen können durcheinander teilbar, Mengen ineinander enthalten sein.
Um über solche Situationen präzise reden zu können, wurde der Begriff der Relation geprägt: Eine Relation ist nichts weiter als eine Vorschrift, die für je zwei Objekte auf eindeutige Weise die Prädikate "ja" (= sie stehen in einer Beziehung) und "nein" festlegt; dabei wird es in der Regel auf die Reihenfolge der Objekte ankommen.

Das klingt sehr abstrakt, deswegen folgen einige Beispiele zur Illustration:

1. Aus dem Leben.
Die Objekte sollen die Einwohner Berlins sein, und die Relation soll durch folgende Vorschrift erklärt sein: Zwei Einwohner stehen dann in Relation, wenn sie im gleichen Bezirk wohnen.
2. Wieder aus dem Leben, diesmal geht es um die Länder Europas. Wir vereinbaren, dass ein Land L in Relation zu einem Land L' steht, wenn die Hauptstadt von L weniger oder höchstens genau so viele Einwohner wie die Hauptstadt von L' hat. So steht Finnland in Relation mit England usw.
3. Nun zur Mathematik, wir wollen uns mit natürlichen Zahlen beschäftigen. Wir sagen: m steht in Relation mit n, wenn m-n durch 7 teilbar ist. Hier steht etwa 9 in Relation mit 2, 21 mit 0 und 114 mit 100.
(Intuitiv kann jede(r) damit umgehen: In n Tagen wird der gleiche Wochentag wie in m Tagen sein, wenn m und n in dieser Relation stehen.)

Es dürfte klar sein, dass man in allen Bereichen Beispiele wie Sand am Meer finden kann. Im Zusammenhang mit den vorstehenden ist auf einen wesentlichen Unterschied zwischen "Leben" und "Mathematik" hinzuweisen: In der Mathematik ist alles unzweideutig und objektiv entscheidbar, man kann zum Beispiel beim besten Willen nicht darüber diskutieren, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist oder nicht.
Im "Leben" sieht das anders aus. Wer ist denn genau - im ersten Beispiel - ein "Einwohner Berlins"? Muss er/sie gemeldet sein, zählen Obdachlose mit? Was ist mit Leuten, die zwei Wohnungen in Berlin haben, wie werden die behandelt?

Es hat sich herausgestellt, dass vier Eigenschaften von Relationen eine besondere Rolle spielen, sie können für eine spezielle Relation erfüllt sein oder auch nicht.

Reflexive Relationen

Eine Relation heißt reflexiv, wenn jedes Objekt mit sich selbst in Relation steht. Zum Beispiel:
- für Menschen M, N in Hamburg die Relation "M duzt N" (denn jede(r) duzt sich schließlich selber).
- für natürliche Zahlen m, n die Relation "m-n ist durch 12 teilbar" (denn 0 ist durch 12 teilbar).
Nicht reflexiv ist zum Beispiel die Relation "ist dreimal so groß wie" für Zahlen.

Transitive Relationen

Das sind Relationen mit der folgenden Eigenschaft: Wenn x mit y und y mit z in Relation stehen, so auch x mit z. Beispiele:
- Das vorstehende Beispiel "M duzt N" ist sicher nicht transitiv, denn sicher gibt es Leute M, N und K, so daß sich sowohl M und N als auch N und K duzen, wo sich aber M und K vielleicht nicht einmal kennen (geschweige denn duzen).
- Trotzdem gibt es auch "im Leben" transitive Relationen in Hülle und Fülle: "M ist mit N verwandt", "M arbeitet in der gleichen Firma wie N", "M verdient mindestens so viel wie N" usw.
- Auch in der Mathematik stößt man oft auf diese Eigenschaft, "m-n ist durch 12 teilbar" ist ein interessantes Beispiel. Um da die Transitivität einzusehen, muss man folgende Überlegung anstellen: Wenn m-n und n-k durch 12 teilbar sind, so auch m-k. Denn m-k ist die Summe von m-n und n-k, und für zwei durch 12 teilbare Zahlen ist auch die Summe durch 12 teilbar.

Symmetrische Relationen

Bei vielen der vorigen Beispiele kam es sehr wohl auf die Reihenfolge an: Wenn M mit N in Relation steht, so noch lange nicht N mit M. Wenn die Reihenfolge allerdings keine Rolle spielt, so spricht man von einer symmetrischen Relation. (Es soll also aus "M steht in Relation mit N" stets "N steht in Relation mit M" folgen.)
Ist Duzen symmetrisch? Das hängt von der betrachteten Situation ab. Es stimmt sicher in einem Lehrerkollegium, in einem mittelständischen Betrieb ist das nicht ganz so klar (wenn zum Beispiel ein Meister den Lehrling duzt, der sich aber nicht traut, ebenfalls die etwas vertraulichere Anrede zu wählen).
Eine Analyse der Symmetrie von "A liebt B" oder "A vertraut B" (für Menschen) würde auf ähnliche Probleme führen.
Die Mathematik liefert eindeutigere Beispiele: "m-n ist durch 12 teilbar" ist symmetrisch, denn mit einer Zahl k ist auch die Zahl -k durch 12 teilbar. (Wenn man ein Vermögen von k Euro ohne Rest gerecht auf 12 Personen aufteilen kann, so auch einen Schuldenberg von k Euro.) Natürlich sind nicht alle Relationen in der Mathematik symmetrisch: Wenn x dreimal so groß wie y ist, so stimmt das umgekehrt - also mit vertauschten Rollen - nicht.

Antisymmetrische Relationen

Mal angenommen, wir arbeiten mit einer reflexiven Relation, also einer, für die alle Objekte mit sich in Relation stehen. Dann gilt doch: Ist M=N so steht sowohl M in Relation mit N als auch umgekehrt.
Wenn diese Symmetriebedingung nur für diese Situation erfüllt ist, so spricht man von einer antisymmetrischen Relation. Anders ausgedrückt: Eine Relation heißt antisymmetrisch, wenn "M steht in Relation mit N" und "N steht in Relation mit M" nur dann gleichzeitig vorkommt, wenn M = N ist.
Ein typisches Beipiel - Objekte sollen Zahlen sein - ist die Relation "M ist mindestens so groß wie N". Die Beispiele aus dem "Leben" sind etwas gekünstelt. (Denken Sie an einen Kleinbetrieb, in dem keine zwei Mitarbeiter das gleiche Gehalt haben. Dann ist die Relation "M verdient mindestens so viel wie N" antisymmetrisch.)