Algebraische und Transzendente Zahlen

Algebraische Zahlen

Wir haben in der Hierarchie der Zahlen bereits Zahlenmengen kennen gelernt.

- Die reellen Zahlen als riesiges Reservoir an Zahlen, in denen praktisch alle Zahlen vorkommen, die man für noch so komplizierte Rechnungen braucht.

- Darin die rationalen Zahlen; es sind diejenigen Zahlen, die sich auf sehr einfache Weise aus dem naiven Zählen ergeben.

Es gibt nun einen Bereich dazwischen, die algebraischen Zahlen. Etwas vereinfacht und etwas vage ausgedrückt sind das diejenigen Zahlen, die gerade noch auf einfache Weise unter Verwendung der natürlichen Zahlen beschrieben werden können.

Die genaue Definition ist etwas komplizierter. Eine Zahl z heißt algebraisch, falls man eine Funktion der Form

1. Die Zahlen a₀,a₁, ... ,a_n sind ganzzahlig, mindestens eine ist von Null verschieden.

2. Wenn man die Zahl z in diese Funktion einsetzt, so kommt exakt Null heraus.

Hier ein Beispiel: Bezeichnen wir mit y die Wurzel aus 2, so ist y eine algebraische Zahl; man braucht ja nur zu beachten, dass y²-2 = 0, d.h. mit x²-2 ist eine geeignete Funktion schon gefunden.

Wissenswertes dazu

1. Algebraische Zahlen kann man addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren; immer wieder entstehen algebraische Zahlen.

2. Um für eine reelle Zahl z nachzuweisen, dass sie algebraisch ist, muss doch ,,nur'' eine geeignete Funktion

Oben haben wir behauptet, dass die algebraischen Zahlen "zwischen" den reellen Zahlen liegen, d.h. jede rationale Zahl ist algebraisch. Das ist wirklich so: Eine rationale Zahl q können wir doch als Bruch q = m/n schreiben, wobei m und n ganze Zahlen sind, dann ist q Nullstelle von

nx - m,

Transzendente Zahlen

Eine reelle Zahl, die nicht algebraisch ist, heißt transzendent. Durch ein Abzählbarkeitsargument kann man einsehen, dass es transzendente Zahlen geben muss:
Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen, aber man kann sich wie folgt überlegen, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar ist: Betrachte zunächst eine natürliche Zahl n. Dann gibt es nur abzählbar viele Polynome n-ten Grades mit ganzen Koeffizienten, denn man hat für jeden der n Koeffizienten nur abzählbar viele Wahlmöglichkeiten. Das gilt für jedes n. Also gibt es auch insgesamt nur abzählbar viele Polynome mit ganzen Koeffizienten: Man geht wie beim Nachweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen vor; schreibe einfach in die erste Zeile alle Polynome ersten Grades, in die zweite Zeile die zweiten Grades, ... Jedes dieser abzählbar vielen Polynome hat nur endlich viele Nullstellen, d.h. es gibt nur abzählbar viele algebraische Zahlen.
Da die reellen Zahlen überabzählbar sind, muss es also transzendente Zahlen geben.

Viel, viel schwieriger ist der Nachweis, dass eine konkrete Zahl z transzendent (also nicht algebraisch) ist:
Keine Funktion der Form

Damit dürfte klar sein, dass es äußerst schwierig ist, überhaupt transzendente Zahlen zu finden. Es waren denn auch zu Recht gefeierte Ergebnisse, als die Transzendenz einiger ,,berühmter'' Zahlen gefunden wurde: Die Eulersche Zahl e ist transzendent (Hermite, 1873), ebenso die Kreiszahl (Lindemann, 1882).

Für Interessierte mit mathematischen Vorkenntnissen geben wir als Beispiel für einen Transzendenzbeweis hier einen Beweis für die Transzendenz von e.