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Der goldene Schnitt

Inhalt


1. Was ist der goldene Schnitt?


Der goldene Schnitt ist ein ganz besonderes Teilungsverhältnis. Nehmen wir mal an, es sei eine Strecke gegeben, etwa zwischen zwei Punkten A und B. (Für die Strecke schreiben wir dann [A,B]; ihre Länge bezeichnen wir mit AB.) Ist noch ein weiterer Punkt S gegeben, der auf der Strecke [A,B] liegt, so teilt S [A,B] in zwei kleinere Abschnitte. Man sagt S teilt [A,B] im goldenen Schnitt, wenn das Verhältnis des kleineren zum größeren dieser Abschnitte genauso groß ist, wie das Verhältnis des größeren Abschnitts zur ganzen Strecke.

Es stellt sich heraus, dass S dadurch eindeutig bestimmt ist. Fast jedenfalls, denn der kleinere der Streckenabschnitte kann sowohl der bei A als auch der bei B sein.

   oder   


Um uns darüber keine Gedanken machen zu müssen, fordern wir einfach, dass S näher bei B als bei A liegen soll. Der kleinere Abschnitt ist dann [S,B]. In Formeln heißt unsere Bedingung für den goldenen Schnitt:

SB / AS = AS / AB

Damit können wir das goldene Schnittverhältnis ausrechnen. Um dabei nicht ständig mit den Streckenlängen AB, usw. herumhantieren zu müssen, geben wir diesen Längen Namen: Wir setzen a = AB und x = AS. Der Länge SB müssen wir keinen Namen geben, sie ist gerade a-x.

Die Formel von oben heißt nun


Das kann man aber lösen! Wir nehmen beide Seiten der Gleichung mit ax mal und erhalten

,

was das Gleiche ist wie


Eine quadratische Gleichung in x. Die p-q-Formel liefert die L?sungen



Hier kommt jedoch x2 nicht in Frage, weil es negativ ist. Unsere Lösung ist also


Insbesondere ist das "goldene Schnittverhältnis"

,


Fazit: Teilt S die Strecke [A,B] im goldenen Schnitt, so ist das Verhältnis des kleineren zum größeren Abschnitt gleich dem Verhältnis des größeren Abschnitts zur ganzen Strecke und beide sind gleich .

Setzen wir nun a=1. (Durch geeignete Wahl der Längeneinheit kann man das sowieso immer machen.) Die eben berechnete Lösung nennt man dann phi. phi ist ungefähr 0.618. Genausogut hätten wir das umgekehrte Verhältnis, also x / (a-x) = a / x, bestimmen können. Das gibt einfach den Kehrwert 1/phi. Dieser Wert wird dann Phi genannt. Vereinbarungsgemäß ist das große Phi die "goldene Schnittzahl". Phi ist ungefähr 1.618. Diese Ähnlichkeit zu phi ist kein Zufall. Es gilt nämlich:


Und das ist gar nicht so schwer zu sehen, wenn man sich noch einmal klarmacht, wie wir phi berechnet hatten: phi war doch Lösung der Gleichung x2 + x - 1 = 0 (wir hatten a=1 gesetzt). Das heißt nichts anderes als
oder, nachdem man auf beiden Seiten 1 addiert und anschließend durch phi geteilt hat
Das wollten wir gerade zeigen.

Auch Phi erfüllt eine quadratische Gleichung. Es gilt

was man leicht nachprüft, indem man hier Phi durch 1/phi ersetzt und die Gleichung mit -(phi)2 malnimmt.

2. Geschichte


Wer denn den goldenen Schnitt "erfunden" hat ist nicht ganz klar. Bekannt ist er mindestens seit der Antike. Gewisse Längenverhältnisse der Cheopspyramide stehen auch im goldenen Verhältnis (s.u.). Doch gibt es keine Hinweise, dass die alten Ägypter den goldenen Schnitt kannten. Als Entdecker, derjenige also der als erster eine präzise Definition des goldenen Schnitts gegeben hat, wird Hippasos (Pythagoräer) gehandelt. (Andere nennen Eudoxos, genau weiß man's nicht.) Die erste schriftliche Definition findet man in Euklids "Elementen". Obwohl der goldene Schnitt als das Teilungsverhältnis schlechthin gilt, hat man den goldenen Schnitt wohl bei der Untersuchung regulärer Fünfecke entdeckt. Das Verhältnis einer Seite zu einer Diagonalen in einem solchen Fünfeck ist nämlich gerade der goldene Schnitt. Die Konstruktion von Phi mit Zirkel und Lineal ist der erste Schritt zur Konstruktion des regulären Fünfecks. Dazu später mehr. Es gibt das Gerücht, dass Hippasos, nach der Entdeckung des goldenen Schnitts und damit der Existenz irrationaler Zahlen von seinen pythagoräischen Geheimbundkameraden ins Meer geschubst worden sei.



3. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal


Es gibt verschiedenste Konstruktionen von phi und Phi mit Zirkel und Lineal. Einige findet man in dem Buch von Beutelspacher und Petri. Wir beschränken uns hier auf nur eine. Es sei also eine Strecke [A,B] gegeben (deren Länge immer noch a sei). Mit Zirkel und Lineal müssen wir nun den Punkt S bestimmen, der [A,B] golden schneidet.

  1. Zuerst errichtet man das Lot mit Fußpunkt B auf die Strecke [A,B]. (Verlängere die Strecke [A,B] über B hinaus. Der Kreis mit Radius a um B schneidet die verlängerte Strecke dann nicht nur links von B in A, sondern auch noch in einem weiteren Punkt P rechts von B (im Abstand a). Der Kreis um A mit Radius AP=2a schneidet den Kreis um P mit Radius AP=2a in genau zwei Punkten. Die Gerade durch diese Punkte ist das gesuchte Lot.)
  2. Auf diesem Lot tragen wir nun ausgehend von B die Länge a/2 ab und erhalten so den Hilfspunkt C. (Die Länge a/2 bekommt man in den Zirkel, indem man die Ausgangsstrecke halbiert: Man male Kreise der Länge a um A und B. Verbindet man deren Schnittpunkte mit dem Lineal, so ist der Schnittpunkt dieser Linie mit [A,B] gerade der Mittelpunkt von [A,B]. Damit hat man die Länge a/2 konstruiert: als Abstand dieses Mittelpunktes von B.)
  3. Verbinde nun die Punkte A und C.
  4. Schlage einen Kreis mit Radius CB = a/2 um C. Den Schnittpunkt dieses Kreises mit der Strecke [A,C] nennen wir D.
  5. Nun zeichnen wir den Kreis mit Radius AD um A. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit der Ausgangsstrecke [A,B] ist S.


Warum?

Die Begründung ist gar nicht schwierig. Mit dem Satz von Pythagoras können wir die AS einfach berechnen: Da das Dreick ABC rechtwinklig ist, gilt

(AB)2 + (BC)2 = (AC)2.

Wurzelziehen und Einsetzen von AB = a und BC=a/2 liefert


Da nun CD = CB = a/2 ist, folgt

,

also AD = a. Nach Konstruktion ist aber AS = AD und damit

.

Das war zu zeigen.

Ausgehend von einer Strecke der Länge a können wir also eine Strecke der Länge phi mal a konstruieren. Dann aber auch eine der Länge Phi mal a. Wir müssen ja wegen Phi mal a = (1+phi)a an die Strecke der Länge phi nur nochmal eine der Länge a anhängen. Das führt direkt zur Konstruktion des goldenen Dreiecks. Ein goldenes Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck, so dass das Verhältnis der beiden gleichen Schenkellängen zur Basislänge gerade Phi ist.

Ist eine Strecke der Länge a gegeben, so müssen wir nur so lange herumkonstruieren, bis wir Phi mal a im Zirkel haben (wie das geht steht oben) und dann an den Enden der gegebenen Strecke Kreise mit Radius Phi mal a abtragen. Verbindet man einen Schnittpunkt dieser Kreise mit den Endpunkten der gegebenen Strecke, hat man ein goldenes Dreieck.

4. Reguläre Fünfecke


Ein reguläres Fünfeck ist ein konvexes Fünfeck (d.h. es gibt keine nach Innen weisenden Ecken) mit fünf gleich langen Seiten und fünf gleich großen Innenwinkeln. So sieht's aus:


Wie schon erwähnt spielte das reguläre Fünfeck bei der Entdeckung des goldenen Schnittes eine besondere Rolle. Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass die Seitenlängen alle die Länge 1 haben. (Was man durch geeignete Wahl der Längeneinheit immer erreichen kann.)

Die Verbindungsstrecken zweier nicht benachbarter Ecken heißen Diagonalen. Gleich zweimal tritt bei der Untersuchung der Diagonalen der goldene Schnitt auf:

  • Zwei Diagonalen, die keinen gemeinsamen Endpunkt haben, teilen einander im goldenen Schnitt.
  • Das Verhältnis der Länge einer Diagonalen zur Länge einer Seite ist Phi (das goldene Verhältnis).

Der Beweis dieses Satzes ist nicht sehr schwierig (allerdings auch nicht völlig einfach). Bevor wir den Beweis beginnen, notieren wir die offensichtliche Tatsachen, dass

  • erstens jede Seite zu einer bestimmten Diagonalen parallel ist. Derjenigen nämlich, mit der sie keinen gemeinsamen Endpunkt hat. (Z.B. ist [C,D] || [B,E] und [D,E] || [A,C].)
  • Zweitens, dass alle Diagonalen die gleiche Länge haben.
  • Dass das wirklich so ist, folgt aus der Symmetrie des Fünfecks.

    1. Es sei S der Schnittpunkt der Diagonalen [A,C] und [B,E].


    Wir müssen zeigen, dass AC/SC = SC/AS ist. Zunächst überlegen wir uns, dass [S,C] gerade so lang wie eine der Seiten ist (insbesondere genauso lang wie [A,B]): Sehen wir uns dazu das Viereck CDES an. Nach unserer Vorüberlegung sind die gegenüber liegenden Seiten parallel. Das Viereck ist ein Parallelogramm! Dann müssen die gegenüberliegenden Seiten aber auch gleich lang sein. Also ist CS = DE, und damit gleich der Länge einer jeden Seite. Wir halten fest:

    SC = AB

    Außerdem brauchen wir noch, dass

    CE = AC

    ist. Das hatten wir uns schon oben klargemacht, weil ja [A.C] und [C,E] zwei Diagonalen sind. Das war's eigentlich schon. Da [A,B] und [C,E] parallel sind, können wir den Strahlensatz anwenden:

    CE/AB = SC/AS.

    Wir hatten aber gezeigt, dass CE=AC und AB=SC ist, also

    AC/SC = SC/AS.

    Der Schnittpunkt der Diagonalen teilt diese demnach wirklich im goldenen Schnitt.

    2. Die zweite Aussage, dass das Verhältnis der Länge einer Diagonalen zur Länge einer Seite gleich Phi ist, haben wir eigentlich schon in 1. mitbewiesen. Mit Hilfe des Strahlensatzes hatten wir

    CE/AB = SC/AS

    gesehen. Hier ist CE/AB gerade "Diagonalenlänge durch Seitenlänge" und SC/AS nach unsrerem Ergebnis aus 1. gleich Phi, die goldene Schnittzahl.

    Ausgehend von einer Seite, etwa [A,B], wollen wir ein reguläres Fünfeck nun konstruieren.


    Dabei hilft uns der eben bewiesene Satz, dass das Verhältnis der Länge einer Diagonalen zur Länge einer Seite gleich Phi ist, entscheidend weiter. Er impliziert nämlich, dass das Dreieck ABD ein goldenes ist. Um den Punkt D zu erhalten errichten wir auf der Strecke [A,B] einfach ein goldenes Dreieck. Oben hatten wir gesehen, wie das geht. Wie kommen wir an die verbleibenden Punkte C und E? Dazu errichten wir über [B,D] und [A,D] je ein gleichschenkliges Dreieck, deren gleiche Schenkel die Länge a haben, wie oben angedeutet. (Schneide Kreise mit Radius a um B und D bzw. A und D; das liefert C und E.) Fertig!

    Nicht unerwähnt bleiben soll in diesem Abschnitt, dass man ein reguläres Fünfeck auch durch Papierfalten erhält. Macht man in einen Papierstreifen einen einfachen Knoten und drückt diesen dann platt, entsteht ein reguläres Fünfeck.




    5. Der goldene Schnitt in der Mathematik


    Wir haben uns nun recht ausführlich mit Zirkel- und Linealkonstruktionen und regulären Fünfecken beschäftigt. Alles Dinge, die schon die alten Griechen kannten. Jetzt wenden wir uns auch neueren Untersuchungen zu und werden einige Gebiete in der Mathematik, in denen auch vom goldenen Schnitt die Rede ist wenigstens kurz erwähnen, dabei aber nicht mehr ganz so ins Detail gehen.

    Der goldene Schnitt im Ikosaeder

    Lässt man drei "goldene" kongruente Rechtecke, also solche, deren Seitenlängenverhältnis gerade Phi ist, sich gegenseitig wie unten abgebildet durchdringen, so bilden die Ecken der Rechtecke gerade die Ecken eines Ikosaeders.

    Ikosaeder

    Das Ikosaeder ist einer der fünf platonischen Körper. (Die anderen sind Tetraeder, Würfel, Oktaeder und Dodekaeder.) Die Oberfläche eines Ikosaeders besteht aus 20 deckungsgleichen gleichseitigen Dreiecken.

    Der goldene Schnitt und Kettenbrüche
    Ein (endlicher) Kettenbruch ist ein Ausdruck von der Form

    Dabei sollen a1 eine ganze Zahl, a2,...,an natürliche Zahlen sein. Wir schreiben für einen solchen Ausdruck auch kurz [a1,...,an]. Ähnlich, wie es nicht abbrechende Dezimalzahlen gibt, gibt es auch nicht abbrechende (unendliche) Kettenbrüche. Gebilde also der Form
    die "unendlich so weitergehen". Kurz: [a1,a2,a3,...] Man kann beweisen, dass jeder unendliche Kettenbruch konvergiert. Ganz ähnlich, wie man reelle Zahlen durch Dezimalzahlen darstellt, kann man weiter zeigen, dass

    • die Zuordnung Kettenbruch <--> reelle Zahl bijektiv ist (d.h. zu jeder reellen Zahl es genau einen Kettenbruch gibt, der sie darstellt und umgekehrt)
    • und die endlichen Kettenbrüche gerade zu den rationalen Zahlen gehören.


    • Wie sieht die Kettenbruchentwicklung von Phi aus? Eine saubere Herleitung wollen wir hier nicht geben, auf die richtige Idee aber kann man folgendermaßen kommen. Ausgehend von der Gleichung Phi2- Phi - 1 = 0 (s.o.) erhalten wir (teile durch Phi)
      Setzen wir die Gleichung sukzessive in sich selbst ein, bekommen wir
      usw. Das nährt den (tatsächlich richtigen) Verdacht, dass Phi gleich
      ist. Der einfachste aller unendlichen Kettenbrüche! Erinnern wir uns, dass wir gefordert hatten, dass all die Einträge an (bis auf den ersten, der auch negativ sein darf) in einem Kettenbruch natürliche Zahlen sind. Der Kettenbruch Phi = [1,1,1,...] hat möglichst kleine Einträge. In einem gewissen Sinne heißt das, dass die irrationale Zahl Phi nur sehr schlecht von rationalen Zahlen approximiert wird. Dies wiederum hat Konsequenzen sogar in der Chaostheorie; ein Zusammenhang, der erst vor wenigen Jahren aufgedeckt wurde.


      Der goldene Schnitt und die Fibonaccifolge
      Die Fibonaccifolge ist eine Folge (f1, f2, f3, ...) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...) natürlicher Zahlen. Dabei startet man mit f1=1 und f2=1. Nun ergibt sich jede weitere Zahl als die Summe der beiden vorigen. Also

      Das erste Mal erschien diese Folge in dem Buch liber abaci des Leonardo von Pisa, auch "Fibonacci". Er benutzte die Folge, um die wachsende Anzahl einer Kaninchenpopulation zu berechnen.
      Was hat das aber nun mit dem goldenen Schnitt zu tun? Sogar eine ganze Menge! Sehen wir uns doch mal die Quotienten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen an. (Nennen wir sie a1, a2, a3, ...). D.h. wir setzen
      Die ersten a's sind:
      Wir ahnen schon, wo der goldene Schnitt hier auftaucht. In der Tat konvergiert an für n gegen unendlich gegen Phi.

      Man kann sich das so klarmachen: Aus der Rekursionsgleichung


      für die Fibonaccizahlen folgt eine Rekursionsgleichung für die Folge der an:


      Das kennen wir aber! Die Folge der an ist nichts weiter als die Folge der Kettenbrüche
      Damit (s.o.) konvergiert (an) wirklich gegen Phi.

      Es gilt aber noch viel mehr. Bislang können wir die Fibonaccizahlen nur rekursiv berechnen. D.h., um etwa f1000 zu berechnen, müßten wir zunächst f999 und f998 ausrechnen, dafür wieder f997 u.s.w. Glücklicherweise gibt es aber auch ein explizite Formel. Nämlich:


      Probieren wir's mal aus:
      ,
      für n = 7 stimmt's also!

      Überlegen wir uns, dass das immer klappt! Wir müssen zeigen, dass


      ist. Nennen wir die Folge
      für n = 1,2,3,..., vorsichtshalber erstmal gn. (Wir haben ja erst zu zeigen, dass das gleich fn ist.) Fangen wir an:

      Weiter gilt


      Auch die Folge der gn beginnt demnach mit (1,1,...). Um zu beweisen, dass gn = fn ist, dass also gn die Folge der Fibonaccizahlen ist, müssen wir nur noch nachprüfen, dass sie die definierende Rekursionsgleichung ("jedes Glied gleich Summe der beiden vorigen") erfüllt. Dann muss es die Fibonaccifolge sein. Los geht's:


      Nun können wir die im ersten Abschnitt hergeleiteten quadratischen Gleichungen für Phi und phi benutzen. Zur Erinnerung: Es galt

        und   .

      Daher ist Phi + 1 = Phi2 und 1 - phi = phi2 = (-phi)2. Setzen wir das ein, erhalten wir

      Das war zu zeigen. Übrigens kann man mit dieser expliziten Formel leicht beweisen, dass fn+1/fn gegen Phi konvergiert, ganz ohne von Kettenbrüchen Gebrauch zu machen.

      6. Biologie, Kunst und Architektur


      Wohl nicht so sehr seiner mathematischen Eigenschaften als vielmehr seines Auftretens in außermathematischen Zusammenhängen wegen ist der goldene Schnitt so berühmt. Ob Kunst, Architektur, Biologie oder gar Esoterik, der goldene Schnitt scheint einfach überall zu sein. Dabei muss man allerdings vorsichtig sein. Denn wenn man schon im voraus weiß, worauf man hinaus möchte (den goldenen Schnitt nämlich), dann ist es oft keine große Kunst mehr, tatsächlich genügend Beispiele zu finden.


      Biologie

      Wir hatten oben gesehen, dass das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonaccifolgenglieder eine Approximation an den goldenen Schnitt ist. (Eine recht gute übrigens.) Nun stellt man fest, dass die Kerne einer Sonnenblume ein ganz besonderes Muster aufweisen: Sie liegen auf spiralförmigen Linien, die sich von der Mitte bis zum Rand der Sonnenblume winden.

      Sonneblume
      Jeder Kern liegt auf genau einem links- und einem rechtsdrehenden Spiralarm. Seltsamerweise sind nun sowohl die Anzahl der linksdrehenden Spirallinien als auch die der rechtsdrehenden Fibonaccizahlen! Und zwar benachbarte. In der Natur findet man für die Anzahl der linksdrehenden Spirallinien Werte von 21, 34, 55, 89 und 233. Das Verhältnis von linksdrehenden zu rechtsdrehenden Spirallinien ist in guter Näherung der goldene Schnitt.

      Ähnliche Phänomene findet man bei der Schuppenanordnung von Tannenzapfen und Ananas. Natürlich tritt der goldene Schnitt bei Pflanzen auch immer dann auf, wenn z.B. die Blüten die Form eines regelmäßigen Fünfecks (oder eines Pentagramms) haben. Doch auch am menschlichen Körper findet man den goldenen Schnitt. Wir nennen (zum selbst Überprüfen!) nur:

      • Das Verhältnis vom Abstand Bauchnabel -- Sohle zum Abstand Scheitel -- Bauchnabel sowie,
      • steht man aufrecht und lässt die Arme an der Seite herabhängen, das Verhältnis vom Abstand Scheitel -- Fingerspitzen zum Abstand Fingerspitzen -- Sohle.


      Kunst

      Auch in vielen Bildern findet man den goldenen Schnitt. Wir geben nur ein Beispiel. Ein Selbstportrait Dürers aus dem Jahr 1500.

      Albrecht Dürer
      Zunächst fällt auf, dass die Haare ein gleichseitiges Dreieck bilden, dessen Spitze gerade die Mitte des oberen Bildrandes ist. Die Basis dieses Dreiecks, also die waagerechte Linie, die die Locken nach unten begrenzt und knapp unterhalb des weißen T-Shirts entlangläuft, teilt die Höhe des Bildes gerade im goldenen Schnitt.



      Architektur Zwei Beispiele für den goldenen Schnitt in der Architektur: Die Cheopspyramide und das alte Leipziger Rathaus. Zunächst zur Cheopspyramide:
      Cheopspyramide
      Nennen wir den Abstand der Spitze der Pyramide zum Mittelpunkt einer der Grundseiten a und den Abstand des Mittelpunkts der Grundfläche zu diesem Punkt b.
      Dann hat man festgestellt, dass a/b in guter Näherung Phi ergibt.
      Deutlicher erkennt man den goldenen Schnitt am alten Leipziger Rathaus.
      altes Leipziger Rathaus
      Der Turm teilt das Gebäude gerade im goldenen Verhältnis. Auf dem Bild kann man das der Perspektive wegen natürlich nicht sofort sehen. Zählt man aber die Torbögen links und rechts vom Turm, so kommt man auf acht bzw. dreizehn: Zwei benachbarte Fibonaccizahlen!


      7. Literatur und Links


      Zum Schluss eine kleine Auswahl an Literatur zum goldenen Schnitt. Sehr gut hat mir das Buch von Beutelspacher und Petri gefallen. Hier findet man auch ein ausführliches, weiterführendes Literaturverzeichnis. Auch die Linkliste ist keineswegs vollständig. Sollten wir einen wichtigen Link übersehen haben, dann schreiben Sie bitte eine E-Mail an mathematik.de (mail[at]mathematik.de).

      Bücher über den goldenen Schnitt:


      Links zum goldenen Schnitt: