Die Eulersche Zahl <i>e</i>

Die Zahl e lässt sich auf verschiedene Weise einführen:

Möglichkeit 1

In der Schule wird e oft über die so genannte stetige Verzinsung eingeführt.

Darunter ist Folgendes zu verstehen. Man stellt sich vor, dass eine Bank 100 Prozent Zinsen gibt, wobei jährlich abgerechnet wird. Nach einem Jahr werden dann aus einem Euro zwei Euro.

Wird jeweils nach einem halben Jahr abgerechnet und werden die Zinsen gleich wieder angelegt, so liefert die Zinseszinsrechnung ein Kapital von

nach einem Jahr. Analog: Wird das Jahr in n gleiche Teile geteilt, so wird aus einem Euro unter Berücksichtigung der Zinseszinsen ein Kapital von

Diese Zahl wird die Eulersche Zahl genannt und mit e bezeichnet.

Möglichkeit 2

Die Zahl e ergibt sich auf ganz natürliche Weise auch bei Wachstumsprozessen. Wir stellen uns irgendeine Population vor, bei der das Wachstum proportional zur gerade vorhandenen Bevölkerung und zur Beobachtungszeit ist: Gibt es zur Zeit t genau f(t) Individuen, so soll der Zuwachs in den nächsten s Zeiteinheiten genau a·s ·f(t) sein (dabei ist a eine geeignete Konstante, die so etwas wie die Fruchtbarkeit misst). Das heißt gerade:

Es reicht nun, den Spezialfall a = 1 zu untersuchen, die allgemeine Situation lässt sich durch Skalierung darauf zurückführen. So gelangt man zu dem folgenden Problem: Finde eine Funktion f, für die f ' = f ist (für die also die Ableitung der Funktion mit der Funktion übereinstimmt) und für die f(0)=1 gilt; Letzteres ist lediglich eine praktische Normierung. Man kann dann beweisen, dass es eine eindeutig bestimmte Funktion mit dieser Eigenschaft gibt, sie wird die Exponentialfunktion genannt, der Wert dieser Funktion bei einer Zahl x wird mit exp(x) bezeichnet. Die Zahl e ist dann gerade der Wert der Exponentialfunktion an der Stelle x = 1.

Es gilt: exp(x) = e^x für alle reellen Zahlen x.

Möglichkeit 3

Es ist für konkrete Rechnungen oft praktisch zu wissen, dass sich exp(x) als unendliche Summe

Da die Nenner in dieser Summe sehr schnell sehr groß werden, kann man mit relativ wenigen Summanden e schon recht gut bestimmen.

Möglichkeit 4

Wer schon weiß, was ein Flächeninhalt unter einer Kurve ist, kann e auch als diejenige Zahl x definieren, für die die Fläche unter der Kurve 1/x zwischen den Abszissen 1 und x genau den Wert 1 hat. Das das wirklich so ist, folgt aus elementaren Integrationsregeln (das unbestimmte Integral der Funktion 1/x ist die Logarithmusfunktion, und die hat genau bei e den Wert 1).

Wissenswertes zu e

1. Sicher ist e eine der wichtigsten Zahlen der Mathematik und für die Anwendungen. Das liegt überwiegend in ihrer Bedeutung für Wachstumsprozesse. Eigenschaften der Exponentialfunktion - auch im Bereich der komplexen Zahlen - wurden von Euler intensiv untersucht, ihm zu Ehren heißt sie e.

2. Wie auch die Zahl gehört die Zahl e in der Hierarchie der Zahlen zu den kompliziertesten. Dass sie irrational ist, kann vergleichsweise leicht eingesehen werden, dazu muss man nur wenig über die Exponentialfunktion wissen. Dass sie sogar transzendent ist, ist viel schwieriger zu beweisen. Dieses Ergebnis wurde im Jahre 1873 von Hermite gezeigt.

3. Im Gegensatz zu gibt es für e keine Fan-Gemeinde. Auch ist es nicht besonders Prestige-fördernd, nun möglichst viele Stellen nach dem Komma für e auszurechnen. Das liegt daran, dass das durch die Formel

4. Die Formel

Die Erweiterung der Exponentialfunktion in den Bereich der komplexen Zahlen spielt eine wichtige Rolle, um eine der interessantesten Formeln der Mathematik zu verstehen.