Die Hierarchie der Zahlen
Inwieweit sind die Zahlen, die man in der Mathematik braucht, eigentlich mehr oder weniger kompliziert? Nachstehend werden die wichtigsten Klassen kurz vorgestellt.
A. Natürliche Zahlen
Das sind die Zahlen 1,2,3,4,..., also diejenigen, die jeder zum Zählen braucht.
Wissenswertes dazu
1. Manchmal zählt man auch die Null zu den natürlichen Zahlen, für die meisten Autoren ist aber 1 die erste natürliche Zahl.
2. Mit je zwei natürlichen Zahlen m und n sind auch die Summe m+n und das Produkt m·n wieder eine natürliche Zahl. Für Differenzen und Quotienten gilt das im Allgemeinen nicht.
3. Obwohl es die einfachsten Zahlen sind, gibt es dazu viele schwierige, zum Teil noch offene Probleme. Ein eigenes Gebiet entstand aus der Beschäftigung mit natürlichen Zahlen, die so genannte Zahlentheorie.
4. Will man als Mathematiker präzise mit den natürlichen Zahlen arbeiten, so führt man sie axiomatisch ein: Die natürlichen Zahlen sind dann eine Menge, in der es die 1 gibt und zu jedem Element x einen Nachfolger x'; heimlich ist x' die Zahl x+1. Und dann fordert man die Peano-Axiome:
- Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger.
- Jede Zahl außer 1 ist Nachfolger einer Zahl, 1 ist ausdrücklich nicht ein Nachfolger.
- Es gilt das Induktionsaxiom: Hat 1 irgendeine Eigenschaft und gilt diese Eigenschaft jedesmal auch für x', wenn sie für x gilt, so haben alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft.
Dieses Axiomensystem ist die Grundlage von allem, was man über Zahlen weiß.
B. Ganze Zahlen
Hier nimmt man zu den natürlichen Zahlen die 0 und die Zahlen
-1, -2, -3,... dazu.
Also: Die ganzen Zahlen bestehen aus
|
Wissenswertes dazu
1. Ganze Zahlen kann man addieren, subtrahieren, man kann sie multiplizieren: Immer wieder entstehen ganze Zahlen. Addition und Multiplikation haben viele Eigenschaften, an die man sich im Lauf der Schulzeit gewöhnt: Es gelten Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz, die 0 bzw. die 1 sind neutral bezüglich der Addition bzw. bezüglich der Multiplikation.
Quotienten ganzer Zahlen müssen nicht ganzzahlig sein.
2. Natürliche Zahlen sind spezielle Beispiele für ganze Zahlen.
C. Rationale Zahlen
Das ist die Menge aller Brüche der Form m/n, wobei m eine ganze und n eine natürliche Zahl ist: So sind 4/87 und -345/777 Beispiele rationaler Zahlen.
Wissenswertes dazu
1. Jede ganze Zahl m kann doch als m/1 geschrieben werden, und deswegen ist jede ganze Zahl auch ein Beispiel für eine rationale Zahl. Es gibt natürlich rationale Zahlen, die nicht ganz sind: 1/2, -7/19,...
2. Im Bereich der rationalen Zahlen ist alles erlaubt: Durch addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren (außer durch 0) erhält man aus rationalen Zahlen immer wieder rationale Zahlen. Gleichzeitig gelten die ,,schönen'' Eigenschaften des Zahlenrechnens: das Kommutativ-, das Assoziativ- und das Distributivgesetz.
D. Reelle Zahlen
Das ist ein etwas schwierigerer Punkt, wirklich hat es auch sehr lange in der Geschichte der Mathematik - bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts - gedauert, bis die Mathematiker in wünschenswert präziser Weise mit reellen Zahlen arbeiten konnten.
Hier wollen wir uns das Leben etwas einfacher machen: Reelle Zahlen sind einfach diejenigen Zahlen, die man in einer (möglicherweise abbrechenden) Dezimalentwicklung darstellen kann: 13.1212121212..., oder 4.5, oder -896626.4142..., oder ...
Das sind praktisch alle Zahlen, die man in der Schule und in den
Anwendungen braucht. Die Zahl 
, die fünfte Wurzel aus 323,
die Eulersche Zahl e, all das sind reelle Zahlen.
Wissenswertes dazu
1. Jede rationale Zahl hat eine (abbrechende oder periodische) Dezimalentwicklung. Deswegen sind rationale Zahlen spezielle Beispiele für reelle Zahlen.
2. Es ist gar nicht so einfach zu sehen, dass es überhaupt reelle Zahlen gibt, die nicht schon rational sind. Das berühmteste Beispiel dazu ist sicher diejenige Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist, also die Wurzel aus 2.
Das ist übrigens ein Beispiel, das einem schon bei elementaren geometrischen Situationen begegnet: Nach dem Satz des Pythagoras hat die Diagonale des Einheitsquadrates genau diese Länge.
3. Reelle Zahlen, die nicht rational sind, heißen irrational. Eben wurde bemerkt, dass die Wurzel aus 2 irrational ist.
E. Komplexe Zahlen
Bekanntlich ist eine Wurzel aus einer Zahl a eine Zahl w mit der Eigenschaft, dass das Quadrat von w gleich a ist. So ist 10 eine Wurzel von 100 und -11 eine Wurzel aus 121. Jede positive reelle Zahl hat genau zwei Wurzeln, die eine ist positiv und die andere ist negativ. Deswegen kann man vereinbaren, unter der Wurzel die positive dieser beiden Zahlen zu verstehen. In diesem Sinn ist 1.414213... die Wurzel aus 2 und 7 die Wurzel aus 49.
Da das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist, können negative reelle Zahlen keine reellen Wurzeln haben. Es ist jedoch möglich, den Bereich der reellen Zahlen zum größeren Bereich der komplexen Zahlen zu erweitern, dort existieren Wurzeln zu allen reellen Zahlen.
Wenn man sich die rellen Zahlen als Punkte einer Geraden vorstellt, etwa der x-Achse in einem Koordinatensystem, so kann man sich die komplexen Zahlen als Punkte der Ebene veranschaulichen. Für komplexe Zahlen werden dann eine Addition (sie funktioniert wie die Vektoraddition) und eine Multiplikation (etwas gewöhnungsbedürftig) so definiert, dass alle vom Zahlenrechnen gewohnten Eigenschaften erfüllt sind: Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze gelten wie gewohnt.
Bemerkenswerterweise gibt es eine komplexe Zahl, deren Quadrat genau dem Punkt -1 auf der x-Achse entspricht. Die Zahl, die zu den Koordinaten (0,1) gehört, hat diese Eigenschaft, sie wird die imaginäre Einheit genannt und mit i bezeichnet.
Damit ist i eine Wurzel aus -1. Übrigens auch -i (diese Zahl entspricht dem Punkt (0,-1)), und anders als bei reellen Zahlen gibt es keine naheliegende Möglichkeit, eine dieser Wurzeln auszuzeichnen. (Deswegen sind Mathematiker nicht ganz glücklich mit der oft anzutreffenden Formulierung " i ist die Wurzel aus -1 "; so wie man in der Umgangssprache ja auch nicht sagen kann, dass man den Bruder von Klaus getroffen habe, wenn Klaus zwei Brüder hat.)
Komplexe Zahlen sind also dazu geeignet, immer Wurzeln zu finden: Immer ist die Gleichung x2-a=0 lösbar. Bemerkenswerterweise gilt viel mehr: Alle Gleichungen der Form
|
Aufgrund der Bedeutung für das Lösen von Gleichungen wurden diese Zahlen schon vor vielen hundert Jahren intuitiv verwendet. Man hatte aber lange kein mathematisch abgesichertes Verständnis für das Arbeiten in diesem Bereich, man sprach von "falschen Wurzeln" usw. Erst im 19. Jahrhundert wurden Wege vorgeschlagen, diese Schwierigkeiten zu umgehen. Heute sind komplexe Zahlen für Berufsmathematiker und Anwender genauso selbstverständlich wie die natürlichen Zahlen 1,2,3,....
