Die imaginäre Einheit

Bekanntlich ist eine Wurzel aus einer Zahl a eine Zahl w mit der Eigenschaft, dass das Quadrat von w gleich a ist. So ist 10 eine Wurzel von 100 und -11 eine Wurzel aus 121. Jede positive reelle Zahl hat genau zwei Wurzeln, die eine ist positiv und die andere ist negativ. Deswegen kann man vereinbaren, unter der Wurzel die positive dieser beiden Zahlen zu verstehen. In diesem Sinn ist ist 1.414213... die Wurzel aus 2 und 7 die Wurzel aus 49.

Da das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist, können negative reelle Zahlen keine reellen Wurzeln haben. Es ist jedoch möglich, den Bereich der reellen Zahlen zum größeren Bereich der komplexen Zahlen zu erweitern, dort existieren Wurzeln zu allen reellen Zahlen.

Wenn man sich die rellen Zahlen als Punkte einer Geraden vorstellt, etwa der x-Achse in einem Koordinatensystem, so kann man sich die komplexen Zahlen als Punkte der Ebene veranschaulichen. Für komplexe Zahlen werden dann eine Addition (sie funktioniert wie die Vektoraddition) und eine Multiplikation (etwas gewöhnungsbedürftig) so definiert, dass alle vom Zahlenrechnen gewohnten Eigenschaften erfüllt sind: Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze gelten wie gewohnt.
Bemerkenswerterweise gibt es eine komplexe Zahl, deren Quadrat genau dem Punkt -1 auf der x-Achse entspricht. Die Zahl, die zu den Koordinaten (0,1) gehört, hat diese Eigenschaft, sie wird die imaginäre Einheit genannt und mit i bezeichnet.

Damit ist i eine Wurzel aus -1. Übrigens auch -i (diese Zahl entspricht dem Punkt (0,-1)), und anders als bei reellen Zahlen gibt es keine naheliegende Möglichkeit, eine dieser Wurzeln auszuzeichnen. (Deswegen sind Mathematiker nicht ganz glücklich mit der oft anzutreffenden Formulierung "i ist die Wurzel aus -1"; so wie man in der Umgangssprache ja auch nicht sagen kann, dass man den Bruder von Klaus getroffen habe, wenn Klaus zwei Brüder hat.)

Komplexe Zahlen sind also dazu geeignet, immer Wurzeln zu finden: Immer ist die Gleichung x²-a=0 lösbar. Bemerkenswerterweise gilt viel mehr: Alle Gleichungen der Form

a₀+a₁x+a₂x²+ ··· +a_nxⁿ = 0

mit beliebigen (reellen oder komplexen) Koeffizienten lassen sich im Bereich der komplexen Zahlen lösen.

Aufgrund der Bedeutung für das Lösen von Gleichungen wurden diese Zahlen schon vor vielen hundert Jahren intuitiv verwendet. Man hatte aber lange kein mathematisch abgesichertes Verständnis für das Arbeiten in diesem Bereich, man sprach von "falschen Wurzeln" usw. Erst im 19. Jahrhundert wurden Wege vorgeschlagen, diese Schwierigkeiten zu umgehen. Heute sind komplexe Zahlen für Berufsmathematiker und Anwender genauso selbstverständlich wie die natürlichen Zahlen 1,2,3,....