Eine bemerkenswerte Formel

Es gibt einen überraschenden Zusammenhang zwischen den für die Mathematik fundamentalen Zahlen. Es kommen vor:

- die Null, das neutrale Element der Addition;

- die Eins, das neutrale Element der Multiplikation;

- die Eulersche Zahl e;

- die imaginäre Einheit i;

- die Kreiszahl .

Um den zu verstehen, muss man natürlich erstens diese Zahlen kennen und zweitens wissen, dass die Exponentialfunktion e^z auch für komplexe Zahlen z anwendbar ist:
e^z ist als Ergebnis der unendlichen Reihe

z²

1·2

z³

1·2·3

+ ...

zu verstehen; das ist sinnvoll, denn auch für komplexe Zahlen sind Summe, Produkt und Grenzwert definiert.

Hier wird das übrigens nur für den Spezialfall benötigt, in dem z ein reelles Vielfaches der imaginären Einheit ist: z=i·x mit einer reellen Zahl x. In diesem Fall kann e^i·x durch die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus ausgedrückt werden:
e^i·x=cos x + i·sin x.
Zum Beweis dieser Beziehung muss man die Reihenentwicklungen von Sinus und Cosinus kennen, der Rest ist dann ganz einfach.

Durch diesen Exkurs über die Exponentialfunktion im Komplexen ist die obige Formel aber auch schon bewiesen: Der Sinus ist bei gleich 0, der Cosinus hat dort den Wert -1, und das heißt

e hoch (i mal

) =-1+0 = -1.

Mathematiker finden die Formel - sie geht auf Euler zurück - besonders bemerkenswert, weil sie auf überraschende Weise die Einheit ihrer Wissenschaft ausdrückt. Zu Beginn der neunziger Jahre des vorigen Jahrhunderts kam sie bei einer Umfrage über die wichtigsten Formeln mit Abstand auf Platz eins.