Mathematik durch die Jahrtausende - Kapitel 9

8. Die Infinitesimalrechnung wird entwickelt und gefestigt

9. Abstrakte mathematische Strukturen entstehen

Während des 19. Jahrhunderts wurde der Schwerpunkt der Mathematik darauf gelegt, mathematische Ideen und Ansichten zu systematisieren und formalisieren. Nach dem schnellen Fortschritt von mathematischen Hilfswerkzeugen in den vorhergehenden Jahrhunderten im Zusammenhang mit ihren Anwendungen in den Naturwissenschaften, war die Zeit reif für weitere grundlegende Arbeiten in der Mathematik. Es war Zeit für mathematische Abstraktion, und die Macht der mathematischen Abstraktion wurde schnell offensichtlich.

9.1 Neue algebraische Strukturen

Die Arbeit von Lagrange zu algebraischen Gleichungen wurde von dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802-29) stark erweitert. Die mathematischen Ideen von Abel und dem französischen Mathematiker Evariste Galois (1811-32) stellen einen Wendepunkt in der abstrakten Mathematik dar. Für seinen berühmten Beweis (von 1826), dass polynomielle Gleichungen fünften Grades nicht durch Wurzelziehen gelöst werden können, entwickelte Abel revolutionäre neue Methoden in der Algebra. Galois brachte mit großer Genialität die Menge von Lösungen einer polynomiellen Gleichung in Zusammenhang mit Permutationen, die die Permutationsgruppe bilden. Die Gruppe, die mit der Menge der Lösungen von polynomiellen Gleichungen in Verbindung steht, ist bekannt als die Galoisgruppe. Die tief liegenden Ergebnisse von Abel und Galois wurden bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts sehr bekannt und übten großen Einfluss auf die Entwicklung der Algebra aus. Diese Entwicklung war zudem stark beeinflusst von Gauss' revolutionärer Arbeit "Disquisitiones Arithmeticae", veröffentlicht 1801, und von den Versuchen, Fermats Vermutung von 1637 zu beweisen. Die Algebra, die sich zuvor hauptsächlich mit Gleichungen befasste, entwickelte sich zu einem Gebiet, das sich mit algebraischen Strukturen auseinander setzte, wie Gruppen, Ringe und Körper.

9.2 Bahnbrechende neue Entdeckungen in der Geometrie

In der Geometrie fand eine ähnliche Entwicklung statt. Die meisten Mathematiker stimmten um 1800 mit dem deutschen Philosophen Immanuel Kant (1724-1804) überein, dass die Geometrie des Raumes a priori euklidische Geometrie sei. Allerdings lauerte im Hintergrund eine große Überraschung. Viele Mathematiker waren über die Jahrhunderte an dem Versuch gescheitert, zu beweisen, dass Euklids fünftes Postulat (das Parallelenaxiom) aus den anderen vier Postulaten aus Euklids Elementen folgt. Der Durchbruch kam um 1830, als der Russe Nicolai Ivanowitsch Lobascheffski (1793-1856), der Ungar János Bolyai (1802-60) und wahrscheinlich auch Gauss, alle unabhängig voneinander, neue Geometrien konstruierten, die nicht das fünfte Postulat erfüllten. Diese neuen Ideen in der Geometrie wurden durch revolutionäre Arbeit von Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-66) weiterentwickelt. Nicht zuletzt in seiner Habilitationsschrift an der Universität in Göttingen im Jahre 1854, wo er die Grundlagen für die heutige Riemannsche Geometrie legte. Viele Ideen waren eine Übertragung auf höhere Dimensionen von Gauss' Pionierarbeit in der Differentialgeometrie aus seinen "Disquisitiones generales circa superficies curves" von 1827, wo er zur Krümmung von Oberflächen schrieb. In dieser Arbeit zeigte Gauss unter anderem, dass noch nicht einmal ein kleines Stück von der Oberfläche einer Sphäre in die euklidische Ebene eingebettet werden kann, ohne geometrische Verzerrung.

Mit der Entstehung von nicht-euklidischen Geometrien entstand die Notwendigkeit für eine Klassifizierung der verschiedenen Arten von Geometrien. Felix Klein (1849-1925) machte dies sehr zweckmäßig in seiner Antrittsvorlesung 1872 an die Universität von Erlangen. Diese ist heute als Erlanger Programm bekannt, wo er den Begriff der Gruppe aus der Algebra benutzte. Der deutsche Mathematiker David Hilbert (1862-1943) stellte in seinem Buch "Grundlagen der Geometrie" von 1899 erfolgreich eine vollständige Menge von Axiomen für die euklidische Geometrie zusammen.

Eine Arbeit des französischen Mathematikers Gaspar Monge (1746-1818) über darstellende Geometrie gegen Ende des 18. Jahrhunderts, insbesondere seine Arbeit zur Darstellung von dreidimensionalen Objekten in der Ebene anhand von verschiedenen Arten von Projektionen, führte im frühen 19. Jahrhundert zu neuem Interesse in der formalen Forschung der projektiven Geometrie. 1822 schrieb Jean-Victor Poncelet (1788-1867) den ersten Text in der synthetischen projektiven Geometrie. Julius Plücker (1801-68) führte 1831 homogene Koordinaten in der projektiven Geometrie ein, um Punkte im Unendlichen zu beschreiben. Das Doppelverhältnis von vier Punkten auf einer Linie (die wichtigste Invariante in der projektiven Geometrie) wurde ausführlich von Michel Chasles (1793-1880) unter dem Namen 'anharmonic ratio' diskutiert. Außerdem spielte die Arbeit von Christian von Staudt (1798-1867) von 1847 eine zentrale Rolle, um die projektive Geometrie zu einem klar definierten Gebiet zu machen.

9.3 Exaktheit in der Analysis

Während des 19. Jahrhunderts boten die führenden Universitäten Europas Vorlesungen in der fortgeschrittenen Mathematik an, einschließlich Kursen in der Analysis. Diese Verbindung zwischen Forschung und Lehre vermittelte vielen Professoren das Gefühl, dass die existierenden Grundlagen der mathematischen Analysis ungenügend waren. Der französische Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) gab in seiner berühmten Vorlesung "Cours d'analyse am College de France" um 1820 die formalen Definitionen zum Konvergenzbegriff von Folgen und unendlichen Reihen und zur Stetigkeit von Funktionen, wie wir sie noch heute benutzen. Der deutsche Mathematiker Karl Weierstrass (1815-97) trug in seinen Vorlesungen an der Universität von Berlin in der Zeit der Reichsgründung weiter dazu bei, dass die Lehre von Funktionen und der Analysis, insbesondere die Variationsrechnung, auf ein Fundament gestellt wurde. Die Theorie der komplexen Funktionen wurde in Arbeiten von Cauchy und Riemann im Zusammenhang mit den so genannten elliptischen Funktionen, die von Abel und dem deutschen Mathematiker Carl Gustav Jacob Jakobi (1804-51) eingeführt wurden, begründet. Das 19. Jahrhundert wird manchmal auch das Jahrhundert der Funktionentheorie genannt.

Die Entwicklungen in der komplexen Analysis wurden angeregt durch überraschende Zusammenhänge in der Zahlentheorie, und zwar nicht zuletzt durch die Erforschung der Funktion π(n), welche die Primzahlen kleiner als eine gegebene natürlichen Zahl n zählt. 1792 vermutete der erst 15-jährige Gauss, dass sich π(n) asymptotisch wie n/ln(n) verhält, wobei ln die natürliche Logarithmusfunktion ist. Eine Art, die asymptotische Form auszudrücken, wurde nach einer Arbeit des französischen Mathematikers Adrien-Marie Legendre (1752-1833) von 1808 und später auch Gauss, bekannt als der 'Primzahlsatz': Der Quotient von π(n) und n/ln(n) konvergiert gegen 1, wenn n über alle Schranken hinauswächst. Riemann schlug in einer Arbeit von 1859 einen Beweis vor, in dem er die Nullstellen einer komplexwertigen Funktion, der Riemannschen Zetafunktion, bestimmen wollte. Die Suche nach der Vervollständigung von Riemanns Ideen wurde bis 1896 eine der Hauptmotivationen, die komplexe Analysis weiter zu entwickeln. 1896 bewiesen der Franzose Jacques Hadamard (1865-1963) und der Belgier Charles De la Vallée Poussin (1866-1962) unabhängig voneinander den Primzahlsatz. Die berühmte Riemannsche Vermutung bleibt bis heute (2004) ungelöst.

Die Versuche, eine exakte arithmetische Basis für die mathematische Analysis zu schaffen, führten schnell zur Notwendigkeit einer exakten und vollständigen Grundlage für das reelle Zahlensystem. Bis zur zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurden keine genauen Konstruktionen der reellen Zahlen nur durch rein logische arithmetische Konstruktionen (ohne den Gebrauch der Intuition) gegeben. Dann präsentierten jedoch Weierstrass, Charles Méray (1835-1911) in Frankreich und Richard Dedekind (1831-1916) und Georg Cantor (1845-1918) in Deutschland unabhängig voneinander und fast gleichzeitig Konstruktionen.

Eine andere wichtige Entwicklung im Zusammenhang mit Analysis war kurz vor 1900: Cantors Arbeit zur Theorie von unendlichen Mengen.

9.4 Weitere Entwicklungen im 19. Jahrhundert

Einige Entwicklungen in der Mathematik im 19. Jahrhundert sind durch ihre Anwendungen entstanden. Am erwähnenswertesten ist die Theorie der Wärmeausbreitung in Festkörpern, welche heute in die Fourieranalysis mit eingebunden wird. Diese wurde von dem französischen Mathematiker Joseph Fourier (1768-1830) in einem Memoir von 1807 entwickelt. Ein anderer Höhepunkt war der fundamentale Satz von Stokes in der Vektorinfinitesimalrechnung, der von dem englischen Mathematiker und Physiker George Gabriel Stokes (1819-1903) um 1850 im Zusammenhang mit Arbeiten in der Hydrodynamik und Elektrodynamik formuliert wurde.

Laplace führte 1812 in seinem Buch "Théorie Analytique des Probabilités" eine Menge von neuen Ideen und mathematischen Methoden für die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein. Die Wahrscheinlichkeitstheorie vor Laplace war nur damit beschäftigt, eine mathematische Analyse von Glückspielen zu erstellen. Laplace wendete probabilistische Ideen auf viele wissenschaftliche und praktische Probleme an. Die Fehlertheorie, Versicherungsmathematik und die statistische Mechanik sind Beispiele von wichtigen Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie, die im 19. Jahrhundert entwickelt wurden.

Während des 19. Jahrhunderts war es charakteristisch in der Mathematik, dass ein immer größerer Wert auf die qualitativen Eigenschaften mathematischer Strukturen gelegt wurde. In dem Gebiet der Differentialgleichungen wurden Existenz- und Eindeutigkeitssätze immer wichtiger. Außerdem wurde das qualitative Verhalten von Lösungen unter anderem von dem Schweizer Jacques Charles Francois Sturm (1803-55), dem Franzosen Joseph Liouville (1809-82) und nicht zuletzt von dem französischen Mathematiker und Physiker Henri Poincaré im Zusammenhang mit nichtlinearen Differentialgleichungen, untersucht. Die Arbeit von Poincaré über die qualitative Theorie von Differentialgleichungen, einschließlich Untersuchungen von Mannigfaltigkeiten von Lösungen, trug zusammen mit früheren Ergebnissen über die qualitativen Eigenschaften von geometrischen Objekten, wie der Eulersche Polyedersatz, dazu bei, dass sich die Topologie um 1900 als eigenständiges mathematisches Gebiet etablierte.

Auch die Arbeit des norwegischen Mathematikers Sophus Lie (1842-1912) über Differentialgleichungen, die zu topologischen Gruppen (heute Liegruppen) führte, markierte einen Meilenstein in der Mathematik.