Philosophie der Mathematik - Formalismus

Ein stark von konventionalistischen Ideen geprägtes Programm verfolgte der so genannte Formalismus, als dessen einflussreichster Vertreter David Hilbert genannt werden kann (vgl. in der Übersicht). Der Formalismus hatte ein ähnliches Motiv wie der Logizismus, nämlich die Absicherung der Mathematik; ein Aufgabe, welche durch die von Russell entdeckten Paradoxien noch dringlicher geworden zu sein schien. Dass der Versuch dieser Absicherung bei Formalisten anders als bei Logizisten aussah, ist deren verschiedenen Auffassungen des Wesens der Mathematik geschuldet.

David Hilbert

Der Logizist Frege hatte gewissermaßen eine inhaltliche Auffassung der mathematischen Sätze vertreten, wonach es die Mathematik auf wahre Sätze abgesehen hat. Dies könne, so Frege, nur dadurch bewerkstelligt werden, dass man die mathematischen Sätze auf erste Sätze (Axiome) zurückführt, deren Wahrheit intuitiv eingesehen wird (wie die der logischen Axiome).

Die Vorstellung der Formalisten ist es dagegen, dass der Mathematik zwar eine axiomatische Gestalt zu geben sei, Fragen der Wahrheit der Axiome jedoch nicht in den Zuständigkeitsbereich der Mathematik fallen. Ihrer Ansicht nach hat es der Mathematiker nicht mit inhaltlichen Sätzen, sondern mit zunächst uninterpretierten Zeichen zu tun. Axiome konstatieren demgemäß keine Wahrheiten, sondern legen die formalen Eigenschaften der mathematischen Symbole fest. Und die Aufgabe des Mathematikers besteht darin, Ableitbarkeitsbeziehungen zwischen diesen Symbolen ausfindig zu machen, indem er mit ihnen gemäß bestimmter Regeln operiert. Für den Formalisten ist die Mathematik ein Spiel mit bedeutungslosen Zeichen, vergleichbar mit dem regelgeleiteten Verschieben von Schachfiguren.

Fragen von Wahrheit und Falschheit kommen erst bei der Anwendung ins Spiel, d.h. dort, wo die mathematischen Symbole in eindeutiger Weise interpretiert werden. So lassen, wie Hilbert betonte, die Begriffe der euklidischen Geometrie ganz verschiedenartige Interpretationen zu; nicht etwa nur als Punkte und Geraden im Anschauungsraum, sondern z.B. auch als Paare reeller Zahlen. In diesem Sinn hat die formalistisch aufgefasste Mathematik einen konditionalen Charakter: Sie behauptet nicht schlechthin die Geltung bestimmter Axiome oder Axiomensysteme. Aber ist eine bestimmte Interpretation der mathematischen Symbole gegeben und gelten die derart interpretierten Axiome, so sind auch die abgeleiteten Theoreme wahr.

Die Möglichkeit einer Anwendung - d.h. einer Interpretation der mathematischen Symbole derart, dass die mit ihnen formulierten Axiome wahr sind - hängt nach Aussage der Formalisten einzig und allein an der Widerspruchsfreiheit des gewählten Axiomensystems. Ein mathematisches Axiomensystem ist also genau dann zu akzeptieren, wenn keine Widersprüche aus ihm abgeleitet werden können; und nicht etwa, wenn es auf logische Axiome zurückgeführt werden kann. Die angestrebte Absicherung der Mathematik wird somit gleichbedeutend mit der Aufgabe, die gebräuchlichen mathematischen Axiomensysteme als widerspruchsfrei nachzuweisen.

Diese Aufgabe gab nun Anlass zur Schaffung eines neuen Gebietes der Mathematik, der so genannten Meta-Mathematik. Hier sollten eben jene Beweise der Widerspruchsfreiheit erbracht werden, insbesondere derjenige, der elementaren Arithmetik. Denn auf ihr ruhen Weite Teile der Mathematik, einschließlich der modernen Analysis. Dieses Programm scheiterte jedoch ebenso, wie das des Logizismus. Kurt Gödel zeigte Anfang der dreißiger Jahre des letzten Jahrhunderts, dass ein Beweis der Widerspruchsfreiheit der elementaren Arithmetik unmöglich ist.

Trotz seines negativen Ergebnisses gilt der von Gödel erbrachte Beweis wegen seiner Komplexität, aber vor allem wegen seiner Orginalität als eine der bedeutendsten Leistungen der Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts. Und obwohl das formalistische Grundlegungsprogramm nicht erfolgreich verlief, ist festzuhalten, dass die formalistische Auffassung einen starken und noch bis heute nachwirkenden Einfluss auf die Gestalt der Mathematik hatte.