Philosophie der Mathematik - Intuitionismus

Der Intuitionismus ist neben dem Logizismus und dem Formalismus die dritte Position im Grundlagenstreit der Mathematik. Seine philosophischen Wurzeln finden sich in der kantischen Philosophie der Mathematik. Als bedeutendster Verfechter des Intuitionismus gilt der niederländische Mathematiker L.E.J. Brouwer.

L.E.J. Brouwer

Zentral für den Intuitionismus ist die Idee, dass die Mathematik eine Schöpfung des menschlichen Geistes ist. Nach Brouwer erkennen wir die Eigenschaften mathematischer Objekte, indem wir sie introspektiv konstruieren. Der Mathematiker entdeckt nicht Sachverhalte, die unabhängig von seiner Tätigkeit bestehen, sondern erfindet gewissermaßen mathematische Formeln, indem er sie konstruiert.

Die Aufgabe des mathematischen Satzes ist es, den Vollzug einer solchen, geistigen Konstruktion auszudrücken. Und während der Formalismus die Wichtigkeit der mathematischen Zeichen betonte, spricht der Intuitionismus dem sprachlichen Ausdruck (in jedweden formalen Systemen) seine wesentliche Bedeutung ab. Die sprachliche Formulierung mathematischer Resultate dient ausschließlich kommunikativen Zwecken und stellt das der Mathematik Wesentliche - die geistigen Konstruktionen - stets nur in unvollkommener Annäherung dar. Gemäß dem Intuitionismus müssen mathematische Axiome nicht auf Logik zurückgeführt oder als widerspruchsfrei bewiesen werden, sondern es ist gewissermaßen ihr intuitives Einleuchten, das über ihre Gültigkeit entscheidet.

Soweit ist der Intuitionismus eine rein philosophische Position. Zu einem Grundlegungsprogramm der Mathematik wird er erst, durch die vor allem von Brouwer vorgetragene Kritik an der traditionellen Logik. In diversen Schriften und Vorträgen forderte Brouwer die Einschränkung der Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten und des auf ihm basierenden Verfahrens des indirekten Beweises. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten besagt, dass jeder Satz entweder(!) wahr oder falsch ist; und ein Beweis wird indirekt genannt, wenn er die Wahrheit einer Aussage beweist, indem er deren Negation ad absurdum führt (d.h. zeigt, dass sie Widersprüche impliziert).

Handelt es sich um universelle Sätze (also Sätze der Form 'Alle x sind ...' oder 'Unter allen x gibt es eines, so dass ...') so sind laut Brouwer beide Prinzipien, nur dann gültig, wenn sich auf endliche Bereiche von Individuen (repräsentiert durch die Variable x) bezogen wird. In diesem Fall können universelle Aussagen nämlich stets durch das Nachprüfen der einzelnen Fälle verifiziert werden und nach Brouwer ist es genau dieser Umstand, die Wahrheit eines jeden Satzes im Prinzip feststellen zu können, den der Satz vom ausgeschlossenen Dritten ausdrückt.

Haben wir es jedoch mit unendlichen Individuenbereichen zu tun, wo die Möglichkeit einer (direkten) Verifikation fehlt, so verliert auch der Satz vom ausgeschlossenen Dritten seine Gültigkeit. Dass er – und die Methode des indirekten Beweisens – dennoch sowohl von Logizisten, wie auch von Formalisten ohne Einschränkung angewandt wurde, hält Brouwer für einen Fehler, der nur durch unsere an endlichen Bereichen geschulten Denkgewohnheiten zu erklären ist.

Die durch indirekte Beweise gewonnenen mathematischen Sätze (insbesondere gewisse Existenz-Sätze) sind nach intuitionistischer Auffassung inhaltsleer, da ihnen keine geistige Konstruktion entspricht. Sie sind bestenfalls von heuristischem Wert, sollten aber nicht zum Korpus mathematischer Lehrsätze gehören.

Die Kritik Brouwers wurde zwar gehört und auch diskutiert, sein Programm einer Neugestaltung der Mathematik auf rein intuitionistischen Prinzipien aber nur am Rande weiterverfolgt. Denn zu groß wäre der Bestand an klassischen Lehrsätzen gewesen, der um ihretwillen hätte aufgegeben werden müssen. Auch weiterhin findet der Satz vom ausgeschlossenen Dritten und die Methode des indirekten Beweisens uneingeschränkte Anwendung innerhalb der Mathematik.