Philosophie der Mathematik - Logizismus

Das Motiv des Logizismus, als dessen Initiatoren Gottlob Frege und Bertrand Russell gelten, bestand darin, der Mathematik ein sicheres Fundament zu geben, welches sie gegen Irrtümer und Missverständnisse logisch-mathematischer oder metaphysischer Art schützen sollte. Dieser Aufgabe sollte durch die Definition mathematischer Grundbegriffe - und zwar denen der Arithmetik -, genüge getan werden, denn in deren vermeintlicher Undefinierbarkeit schien der wesentliche Unruheherd zu liegen.

Gottlob Frege	Betrand Russell

Einen Begriff zu definieren heißt nun, ihn durch einen gleichbedeutenden, bereits bekannten Ausdruck zu erklären. Im Fall der arithmetischen Begriffe sollten dem Logizismus zufolge, logische Symbole die Rolle der bereits bekannten Ausdrücke übernehmen. So gaben Frege und Russell Definitionen des Zahlbegriffs und der elementaren Rechenoperationen, welche ausschließlich logische Konstanten (wie 'und', 'oder', 'Es gibt ein x, derart dass...', etc.) beinhalten und elementare arithmetische Sätze (wie etwa '2+2=4') mit rein logischen Mitteln beweisbar machen.

Bemerkenswert ist dabei, dass, trotz des gemeinschaftlich verfolgten Programms, die philosophischen Positionen Russels und Freges klare Differenzen zeigten. So waren beide zwar dahingehend einig, dass Logik die Grundlage der Mathematik sei, doch was das Wesen logischer und damit auch mathematischer Sätze anbetrifft, vertrat Frege eine platonistische, Russell dagegen eine empiristische Position.

Das logizistische Programm scheiterte letztlich an bestimmten, von Russell selbst entdeckten Widersprüchen (Antinomien), welche sich aus den logizistischen Prinzipien ergeben. Zwar gelang es Russell in der Folge Methoden zu entwickeln, diese Widersprüche zu vermeiden, doch waren die dabei zum Einsatz kommenden Prinzipien nicht logischer Art. In diesem Sinn durfte das logizistische Programm, der Rückführung der Mathematik auf Logik als gescheitert angesehen werden.