Philosophie der Mathematik

Unter Philosophie der Mathematik versteht man den Versuch, die Tätigkeit des Mathematikers, den Gegenstand und den erkenntnistheoretischen Status mathematischer Sätze, sowie deren Verhältnis zur empirischen Wirklichkeit zu klären. Die äußerst vielfältigen Positionen, die man in diesem Zusammenhang antrifft sind zumeist vor dem Hintergrund allgemeinerer philosophischer Ideen oder Konzeptionen entwickelt worden (für einen knappen Überblick).

Normalerweise bleibt die mathematische Praxis von Überlegungen, die im Rahmen der Philosophie der Mathematik angestellt werden in dem Sinn unberührt, dass auch sich philosophisch widersprechende Mathematiker einig sind über den Lehrbestand der Mathematik. Nicht die Geltung mathematischer Sätze oder Rechnungen, sondern deren philosophische Interpretation steht in Frage. Dieses Verhältnis änderte sich jedoch Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts, als im so genannten Grundlagenstreit programmatische Vorschläge für eine Neugestaltung der Mathematik vorgelegt wurden, deren Rechtfertigung letztlich philosophischer Art war. Im Wesentlichen kristallisierten sich dabei folgende drei Positionen heraus:

• Das von Gottlob Frege und Bertrand Russell erarbeitete Programm des Logizismus hatte sich zum Ziel gesetzt, die Mathematik auf Logik zurückzuführen. Dies sollte in zwei Schritten geschehen: Zunächst sollten mathematische Grundbegriffe mittels logischer Ausdrücke definiert werden. Dann sollte gezeigt werden, dass die Sätze der Mathematik allein mittels logischer Prinzipien hergeleitet werden können. An diesem zweiten Schritt jedoch scheiterte das logizistische Programm, weil es nicht gelang ein widerspruchfreies System rein logischer Prinzipien aufzustellen, das stark genug war, die gesamte Mathematik auf ihm zu errichten (mehr).
• Eine zweite Position im Grundlagenstreit ist der so genannte Formalismus, dessen Idee es ist, dass die Mathematik wesentlich eine Wissenschaft formaler Zeichensysteme ist. Nach formalistischer Auffassung besteht die Tätigkeit des Mathematikers darin, mit den mathematischen Symbolen gemäß gewissen, vorab gegebenen Regeln zu operieren. Und worauf es hierbei ankommt ist letztlich nur, dass sich diese Regeln nicht widersprechen. Da man vielen Regelsystemen diese Eigenschaft nicht unmittelbar ansieht, wurde von David Hilbert eine weitere mathematische Disziplin - die so genannte Metamathematik - ins Leben gerufen, um genau diese Fragen zu untersuchen. Aber auch dieses Grundlegungsprogramm führte nicht zum Erfolg. Kurt Gödel zeigte, dass schon für die Regeln der elementaren Arithmetik nicht bewiesen werden kann, dass sie einander nicht widersprechen (mehr).
• Die dritte Partei im Grundlagenstreit ist der Intuitionismus. Dessen Name erklärt sich hierbei aus der Vorstellung, dass die Wahrheit mathematischer Sachverhalte durch bestimmte Geistesakte (Intuitionen genannt) erkannt wird. Der niederländische Mathematiker Brouwer zog aus dieser Idee die Konsequenz, dass die klassische Logik in der Mathematik durch eine intuitionistische Logik zu ersetzen sei, weil nur letztere das mathematische Denken angemessen wiedergäbe. Dass sich dieser Ansatz nicht durchsetzen konnte, lag vor allem an den Beschränkungen die er der Mathematik auferlegt hätte (mehr).