Philosophie der Mathematik - Übersicht

Platonismus

Platons Philosophie der Mathematik geht zurück auf seine Ideenlehre, wonach die Dinge, denen wir im Alltag begegnen, sind, was sie sind, weil sie an gewissen Ideen teilhaben. Diese Ideen wiederum sind bei Platon als ewige und unveränderliche Gegenstände konzipiert, die in einer eigenen Welt existieren und von uns nur durch besondere intellektuelle Anstrengungen erfasst werden können. Auch die Gegenstände der Mathematik sind für Platon solche Ideen.
Heute bezeichnet man jede Auffassung von Mathematik als platonistisch, die davon ausgeht, dass mathematische Terme und Begriffe abstrakte, mathematische Objekte bezeichnen, die unabhängig von der Tätigkeit des Mathematikers in einer eigenen (mathematischen) Welt existieren. Nach Vorstellung der Platonisten besteht die Aufgabe des Mathematikers darin, die Eigenschaften und Beziehungen der mathematischen Objekte zueinander zu ermitteln und derart unser Wissen über die mathematische Wirklichkeit zu vermehren.

Empirismus

Die Philosophie des Empirismus, deren Ursprünge in der angelsächsischen Philosophie des 17. Jahrhunderts zu finden sind, ist bestimmt von einer erkenntnistheoretischen Idee. Empiristen meinen, erkennen sei dasselbe wie erfahren, in dem Sinn, dass alles Wissen durch Erfahrung, und nur durch Erfahrung vermittelt sei. Diese Behauptung richtete sich vor allem gegen den so genannten Rationalismus, der den Sinnen jeden Erkenntnisanspruch absprach und den denkenden Verstand zum alleinigen Mittel der Wahrheitsfindung erklärte.
Die Darstellung der Mathematik stellt nun für den traditionellen Empirismus ein Problem dar, weil es sich hier um einen Bereich der Erkenntnis handelt, der gemeinhin als von der Erfahrung unabhängig angesehen wird. Dem widersprachen die Empiristen in dem sie behaupteten, mathematische Sätze beschrieben ganz allgemeine Züge der empirischen Wirklichkeit. In diesem Sinn stünden sie in einer Linie mit Sätzen der Physik und unterschieden sich von diesen nur durch ihre höhere Allgemeinheit.

Kants Philosophie der Mathematik

Die Philosophie Kants basiert auf dem Gedanken, dass jedwede Erkenntnis der empirischen Wirklichkeit ein Produkt ist, von Anschauungen einerseits und gewissen aktiven Leistungen des Verstandes andererseits. Demnach ordnet der Verstand das Erfahrungsmaterial nach bestimmten Prinzipien, wie etwa Raum und Zeit, die, so Kant, der Erfahrung nicht entnommen werden, sondern ihr vorausgehen, insofern sie Erfahrung überhaupt erst ermöglichen. Verstandesprinzipien dieser Art, zu denen Kant auch die Sätze der reinen Mathematik zählt, werden wir gewahr, indem wir auf die Bedingungen der Möglichkeit von Erfahrung reflektieren. Die sie formulierenden Sätze, insbesondere die Sätze der Mathematik, gelten notwendigerweise für jede Erfahrung, da sie Elemente unserer kognitiven Ausrüstung beschreiben.

Konventionalismus

Angeregt durch Arbeiten der Logiker und Philosophen Gottlob Frege und Ludwig Wittgenstein, findet Anfang des 20. Jahrhunderts innerhalb der Philosophie eine Wende zur Sprache statt. Philosophische Fragen und Probleme werden nun durch eine logische Analyse bestimmter Ausdrücke zu lösen versucht.
Im Rahmen dieser Auffassung von Philosophie entwickelte sich eine Philosophie der Mathematik, die man als konventionalistisch bezeichnet. Diese Darstellung der Mathematik, wie sie etwa von den Philosophen des Wiener Kreises befürwortet wird, erklärt die Wahrheit logischer und mathematischer Sätze aus der Bedeutung der Ausdrücke, aus denen sie gebildet sind. Mathematische Axiome sind dieser Vorstellung nach linguistische Konventionen, welche die Bedeutung der sie enthaltenden Ausdrücke implizit definieren. Und abgeleitete Theoreme stellen lediglich die logischen Konsequenzen aus diesen linguistischen Konventionen dar.