Zusammenspiel: Mathematik und Architektur

Symmetrie und Ornamente:     Die Macht und die Kunst, gleiche Dinge zu erschaffen

Die Gloriette (1775) im Wiener Schloss Schönbrunn. Teil einer spiegelsymmetrischen Schloss- und Gartenanlage.

Der mathematische Symmetriebegriff ist eng an die Begriffe Wiederholung und Transformation gekoppelt. Mathematiker sprechen immer dann von einem symmetrischen Objekt, wenn man mit diesem eine Aktion durchführen kann, die es mit sich selbst wieder zur Deckung bringt. So ist mit der einfachen Spiegelsymmetrie eine Klappung eines Objektes verbunden. Ein Quadrat ist in gewissem Sinne "symmetrischer" als ein gleichseitiges Dreieck: Letzteres besitzt drei Rotationssymmetrien um 0°, 120° und 240°, und drei Spiegelachsen, im Gegensatz zum Quadrat mit vier Rotationssymmetrien und ebenso vielen Spiegelachsen.

Architektonisch begegnet uns der Symmetriebegriff auf (mindestens) zwei verschiedenen Ebenen: Symmetrien im Großen, welche die globale Form eines Gebäudes oder gar einer Stadt betreffen, und Symmetrien im Kleinen, welche ihren Sinn in ornamentaler Ausschmückung eines Gebäudes finden.

Petronas-Towers in Kula Lumpur.

Symmetrien sind eine ausgesprochen verletzliche Sache. Der Symbolgehalt einer solchen Verletzung ist immens. Es ist wohl kein Zufall, dass die beiden am 11. September 2001 zerstörten bzw. beschädigten Schaltzentralen der amerikanischen Macht, die Twin Towers des World Trade Center und das Pentagon, einen beeindruckenden Grad von Symmetrie aufwiesen.

Gilt Symmetrie im Großen als Ausdruck von Macht, so gelten Ornamentik und das Auftreten von Symmetrien in filigranen Strukturen als Ausdruck künstlerischer Verfeinerung sowohl handwerklicher als auch intellektueller Art. Kleine und filigrane Strukturen lassen wesentlich mehr Raum für subtile mathematische Bezüge, eine Kunst, die in verschiedenen Kulturen zur Blüte gebracht wurde. Herausragend ist hierbei sicherlich die islamische Ornamentik. Hier wurde aus der von der Religion diktierten Not heraus, keine konkreten Gegenstände abzubilden, aufs schönste eine Tugend gemacht. Die Rosettenkultur in der Gotik und die metaphernreiche Ornamentik des Jugendstils sind weitere wichtige Vertreter.

Ornamentaler Torbogen von Gaudi.

Die Beziehungen von ornamentaler Kunst zu Mathematik sind facettenreich und tief, so dass sich leicht ganze Bücher darüber verfassen lassen; hier können wir sie nur anreißen. Die Mathematik setzt in der Ornamentik dem materiell Machbaren bemerkenswerte strukturelle Grenzen. Während es beispielsweise einfach möglich ist, aus Quadraten, regulären Dreiecken und regulären Sechsecken eine regelmäßige Kachelung der Ebene zu legen, ist dies mit regulären Fünfecken nicht möglich (probieren Sie es aus!). Klassifiziert man systematisch die mathematisch prinzipiell verschiedenen Möglichkeiten, ebene Flächenornamente zu bilden, so kommt man auf die bereits oben erwähnten 17 verschiedenen kristallographischen Gruppen, in welchen unter anderem fünfzählige Drehsymmetrien prinzipiell unmöglich sind. All diese 17 verschiedenen Typen wurden in der Alhambra in Granada als Flächenornamente realisiert.

Bei solchen Hochblüten ornamentaler Kunst in verschiedenen Kulturen spielte und spielt man oftmals mit der Grenze zwischen Möglichem und Unmöglichem. "Schaut her, wir wissen genau, dass das unmöglich ist, aber wir versuchen euch an der Nase herumzuführen!" - so scheint es aus manchem Zierrat zu rufen. Ein schönes Beispiel sind die in manchen islamischen Ornamenten eingewebten regulären Fünfecke, obwohl eine globale fünfzählige Symmetrie unmöglich ist.

Islamisches Ornament, bei dem bewusst reguläre Fünfecke und zehnzackige Sterne eingebaut wurden.

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