Die Storebælt-Brücke
Die Storebælt-Brücke – mathematisch beschrieben
Wie geht man nun vor, um die „wirkliche“ Brücke mathematisch zu fassen?
Man führt ein Koordinatensystem ein, um jeden Punkt der Wirklichkeit leicht angeben
zu können. Als Maßeinheit wählt man Meter.
Es ist zweckmäßig, die horizontale Koordinatenachse, die x-Achse, genau auf die
Wasseroberfläche mitten unter die Fahrbahn zu legen, während man sich die vertikale
Koordinatenachse, die y-Achse, genau in der Mitte zwischen den beiden Brückenständern
denkt:
Die Storebælt-Brücke mit Koordinatensystem – © HOCHTIEF AG
Der Schnittpunkt der beiden Koordinatenachsen, der Ursprung O, liegt damit auf der
Wasseroberfläche genau zwischen den beiden Brückenständern, den sogenannten Pylonen.
Der Fußpunkt des hinteren Pylons hat nun die Koordinaten (812|–27), weil die
Spannweite der Brücke 1624 m beträgt und der Fußpunkt 27 m unter der Wasseroberfläche liegt.
Erklärung der Formeln auf dem Plakat
Nun lassen sich die Formeln auf dem abgebildeten Plakat erklären:
ymin=77 bedeutet, dass sich der tiefste Punkt des Tragseils der Brücke
77 m über der Wasseroberfläche befindet.
ymax=254 gibt den höchsten Punkt des Tragseils an, die Pylone ragen also
254 m aus dem Wasser heraus.
Die Storebælt-Brücke – © V. L. Hansen
P(x)=2,68 10–4 x2+77=0,000268 x2+77
ist die Gleichung einer Parabel, die den Verlauf der Tragseile der Hängebrücke zwischen den
beiden Pylonen beschreibt.
–812≤x≤812 verlangt dabei gerade, dass x nur zwischen –812 und 812
gewählt wird, da die Spannweite der Brücke 1624 Meter beträgt.
C: x2+(y+44928)2=450002 ist die Gleichung eines Kreises
– ein kleiner Ausschnitt davon beschreibt den Verlauf der Fahrbahn zwischen den Pylonen.
Der Kreis hat einen Radius von 45 km, sein Mittelpunkt liegt 44,928 km unter der
Wasseroberfläche, überragt sie also am höchsten Punkt um 72 m. Die beiden ansteigenden
Fahrbahnstränge werden also zwischen den Pylonen durch den Ausschnitt eines riesigen
Kreises geschlossen.
Parabel versus Kettenlinie
Mit Hilfe der Mathematik kann man den Verlauf von Kabel und Fahrbahn aber nicht nur beschreiben, man kann mit ihrer Hilfe sogar nachweisen, dass das Tragseil den angegebenen Verlauf auch tatsächlich haben muss – schließlich könnte es ja sein, dass das Tragseil einer Hängebrücke in Wirklichkeit gar nicht parabelförmig verläuft, was für ihre Statik verheerende Wirkungen haben könnte.
Tatsächlich glaubte man bis ins 17. Jahrhundert, dass jedes Seil, das zwischen zwei Punkten aufgehängt wird, parabelförmig verläuft. Das stimmt aber nicht: Das Tragseil einer Brücke folgt erst dann einer Parabel, wenn man die Fahrbahn angehängt hat, vorher hängt es in Form der sogenannten Kettenlinie. Der Unterschied ist auf dem Papier äußerst gering, bei einer großen Hängebrücke aber beträchtlich!
An die Storebælt-Brücke wird der Fahrbahnträger angehängt – © A. Lobe
Genauer gesagt: Ein biegsames Seil oder eine Kette hängt allein unter seinem Eigengewicht
in Form der Kettenlinie, es folgt also – bei geeigneter Skalierung – dem Schaubild
der Funktion cosh(x)=(ex+e–x)/2, die Cosinus hyperbolicus genannt
wird.
Ein Seil, das eine gleichmäßig verteilte Last zu tragen hat, hängt dagegen in Form einer
Parabel – also zum Beispiel das Tragseil einer Hängebrücke, nicht aber das Tragseil
einer Gondelbahn.
In dem Artikel "Wenn Seile fremde Lasten tragen" wird der mathematische Nachweis dieses weniger bekannten Sachverhaltes ausgeführt, er kann hier als pdf-Datei (130 KB) abgerufen werden.
(Autor dieses Artikels: Dr. Markus Köcher, markus.koecher[at]t-online.de, Calw)
