Fünf Minuten Mathematik

Computertomographie

Dass ein Mathematiker manchmal auch als Detektiv arbeitet, lernt man schon in der Schule. Zum Beispiel könnte x eine unbekannte Größe sein, von der man nur weiß, dass 3x+5=26 ist. Sherlock Holmes, übernehmen Sie! Wenn 3x+5 gleich 26 ist, muss 3x=21 sein, und damit ist x als die Zahl 7 entlarvt.

In der Computertomographie gibt es auf höherem Niveau ganz ähnliche Probleme. Zur Illustration stellen Sie sich bitte eine ebene Figur vor, etwa einen Kreis, eine Ellipse oder ein Rechteck. Diese Figur lassen wir uns von einem Glaser aus einer einen Zentimeter dicken Glasscheibe ausschneiden.

Betrachten Sie das so entstehende Gebilde von der Seite gegen das Licht. Hatten wir etwa einen Kreis ausschneiden lassen, wird das Licht am Rand einen wesentlich kürzeren Weg durch das Glas zurückzulegen haben als in der Mitte. Also wird es in der Mitte dunkel - meist dunkelgrün - aussehen und am Rand viel heller. Sehen wir dagegen ein Rechteck von der Seite, erscheint ein gleichmäßig dunkel aussehender Streifen.

Nun die Preisfrage: Kann man ganz allgemein allein aus der seitlichen Helligkeitsverteilung beim Anblick aus verschiedenen Richtungen entscheiden, welche Fläche vorliegt? Ja, überraschenderweise geht das, und das ist die Grundlage der Computertomographie. Das Problem bei dieser medizinischen Diagnosetechnik ist ganz ähnlich: Der menschliche Körper wird aus verschiedenen Richtungen durchleuchtet, es wird gemessen, wie stark die Absorption in diesen Richtungen ist, und aus diesen Werten ist dann ein dreidimensionales Bild des medizinisch interessierenden Körperteils zu ermitteln.

Das geht, aber die Einzelheiten sind hochgradig kompliziert. Eine interessante Mischung aus Ingenieurwissen, Computertechnologie und ziemlich fortgeschrittener Mathematik führt zum Ziel, das Ergebnis gehört heutzutage zu den medizinischen Standards.

Von den Anfängen in den sechziger Jahren bis zur Praxistauglichkeit vergingen nur wenige Jahre. Eine Rolle spielte dabei auch, dass das Problem mathematisch eigentlich bereits gelöst war. Schon vor fast 100 Jahren hatte der Mathematiker Radon ein Verfahren angegeben, mit dem unter alleiniger Verwendung der Intensitätsmessungen die durchleuchteten Objekte rekonstruiert werden können.

Ein Computertomograph ist damit nicht nur "High Tech", sondern sozusagen auch "High Math". Die Forschungen gehen immer noch weiter, denn in Bezug auf Tempo und Detailtreue ist noch viel zu verbessern.

Die Kolumne "Fünf Minuten Mathematik" in der WELT vom 7. 2. 2005
Ehrhard Behrends, FU Berlin