Fünf Minuten Mathematik

Die Metrik der Schuhsohlen

Manchmal besucht uns ein Firmenvertreter mit einem Problem, das nicht in eine der üblichen Schubladen passt; er hofft, dass eine gründliche Analyse, dass vielleicht Mathematik ihm weiterhelfen kann. Damit liegt er oft ganz richtig: Wenn etwas vorhergesagt, optimiert, geordnet werden soll, ist der Weg zur Mathematik der richtige.

Ein einfaches Beispiel: Eine Firma stellt Schuhsohlen her; sie hat dafür im Lager mehr als tausend Formen. Ein Schuhhersteller zeichnet seine Wunschvorstellungen von einer neuen Sohlenform. Nun gilt es, die "passende" Sohlenform, die der Wunschvorstellung am nächsten kommt, zu finden.

Das liest sich leicht: "am nächsten kommen". Aber benötigt man da nicht so etwas wie einen Abstand zwischen Schuhsohlen? Die Form mit dem kürzesten Abstand zur Wunschvorstellung wäre dann die richtige. Abstand zwischen zwei Schuhsohlen? Legen wir die beiden doch übereinander. Aber was heißt "übereinander"? So eine Schuhsohle hat weder Mittelpunkt noch klar definierte Achse. Kreise oder Ellipsen wären da einfacher zu vergleichen. Wie bei jeder Modellierung - wir suchen das mathematische Modell des Sohlenabstands - hilft sorgfältiges Hinschauen: Der Mittelpunkt könnte der Schwerpunkt sein, die Achse ist durch die natürliche Stellung der Füße definiert (Vorsicht bei X- oder O-Beinen!). In Geometrie übersetzt, liegen die Sohlen gut übereinander.

Der Abstand muss sich dann aus der Entfernung der zwei Sohlenränder ergeben, wobei man verschieden gewichten kann: Zu wenig Platz für die Zehen ist schlimmer als zu viel Platz für die Ferse. So entsteht eine praktisch verwertbare "Metrik der Schuhsohlen". Die Oberstufenklasse, die das in einer Woche erarbeitete, hat bessere Ergebnisse vorgelegt als eine (kleine) Unternehmensberatung.

Es kommt nicht selten vor, dass die Konstruktion eines Abstands der Kern einer Problemlösung ist. Beispiele: Zwei Bilder (etwa Porträts) sind besonders ähnlich, wenn der "Abstand der Bilder" minimal ist. Wir identifizieren Schildkröten, deren Panzer sich während des Wachstums verändert, durch Definition passender Abstände der Panzermuster, wir beurteilen die Qualität eines Vlieses durch den Abstand zur Gleichförmigkeit. Nicht zu sprechen von Abständen der Orte einer Landkarte, die man ja ganz klassisch euklidisch oder zum Beispiel durch die Fahrzeiten von Ort zu Ort definieren kann.

(Prof. Helmut Neunzert, Mitbegründer des Fraunhofer-Instituts für Techno- und Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern und emeritierter Professor der dortigen Technischen Universität, 03. November 2008 )