Fünf Minuten Mathematik

Wie man zwölf Gäste ohne Streit platziert

Da gibt man eine Party, lädt zwölf Gäste ein, bereitet eine herrliche Tafel zum Essen vor und lässt die Besucher Platz nehmen. Aber ach – der eine möchte neben dem anderen, möglichst nicht aber neben oder gegenüber einem Dritten sitzen. Das Problem: Zwölf Personen können sich auf 479.001.600 Weisen hinsetzen.

Bevor der Streit eskaliert, verspricht der Gastgeber, alle zwölf Gäste so oft einzuladen, wie es verschiedene Anordnungen der zwölf Teilnehmer gibt. Denn dann muss auch die Lieblingsanordnung jedes einzelnen Gastes darunter sein.

Alle stimmen begeistert zu, freilich etwas voreilig. Denn auch ein Multimilliardär bekäme finanzielle Probleme, wenn er eine solche Zusage einhalten wollte. Vor allem aber würde niemand das Ende der Einladungen erleben: Zwölf Personen können sich auf 479.001.600 Weisen hinsetzen. Selbst wenn man täglich feierte, müsste man mehr als 1,3 Millionen Jahre lang feiern.

Ein Mathematiker hätte ein so leichtsinniges Versprechen nicht gegeben, da er vom schnellen Anstieg der Zahl der Anordnungsmöglichkeiten von "n" Dingen mit wachsendem "n" weiß. Es ist eine Aufgabe der Kombinatorik. Im 16. und 17. Jahrhundert war diese Kenntnis noch neu. Entsprechend gern haben die damaligen Autoren diese Tatsache erwähnt.

Für die Berechnung der Anzahl der Vertauschungsmöglichkeiten spielt es natürlich keine Rolle, ob es um Personen, Töne oder Buchstaben geht. Tatsächlich galt auch damals schon der Grundsatz, dass Vielfalt erfreut und Schönheit erzeugen kann. Wie oft kann man etwa mit sechs verschiedenen Glocken eine verschiedene Tonfolge, also eine neue Komposition erzeugen? Immerhin 720 Mal. Der französische Mathematiker Marin Mersenne hat diese kombinatorische Weise zu komponieren genauestens untersucht. Seine "Universelle Harmonie" von 1636 berechnete die unglaublich vielen Möglichkeiten, aus 22 verschiedenen Tönen durch Auswahl (Kombination) und Anordnungen (Permutation) verschiedene Melodien zu erzeugen.

Diese Kompositionstechnik wurde von Universalgelehrten wie Athanasius Kircher oder Komponisten, zu denen vielleicht auch Mozart zählte, tatsächlich gelehrt und ausgeübt. Sie kam jedoch im 18. Jahrhundert als "tönende Algebra" in Verruf, nicht zuletzt deshalb, weil ihre Vertreter aberwitzige Versprechen gaben. Jeder Musiklaie sollte danach innerhalb kurzer Zeit eine vollkommene Kenntnis des Komponierens erwerben können.

Der aus St. Gallen stammende Paul Guldin interessierte sich für die verschiedenen Möglichkeiten, mitmilfe von 23 Buchstaben des Alphabets Texte herzustellen. Er hat wohl den Versuch am weitesten fortgeführt, die ungeheuere Größe einer Permutations- oder Kombinationszahl eindrucksvoll vor Augen zu führen. Er berechnete die Zahl der Bücher und der Bibliotheken, die diese Buchstabenfülle aufnehmen können, und kam zu dem Schluss: Die trockene Oberfläche der Erde könnte nicht alle Gebäude aufnehmen.

(Eberhard Knobloch, TU Berlin, 18. August 2008)