Fünf Minuten Mathematik

Dimension, was ist das?

Ein Kuchen hat mehr Dimensionen als Einsteins Relativitätstheorie.

Als abwertende Bemerkung, gemünzt etwa auf Bücher oder Filme, kommt "eindimensional" auch in der Alltagssprache vor. Gemeint ist, dass es ohne irgendwelche Verästelungen immer nur geradlinig voran geht. Aber was heißt ein-, zwei- oder dreidimensional eigentlich genau, was ist "Dimension"?

Etwas vereinfacht ausgedrückt, ist die Dimension eines geometrischen Objektes die Anzahl der Zahlen, die man zur rämlichen Identifizierung eines Punktes braucht. Nehmen wir zum Beispiel eine Linie. Wenn man einen Punkt P darauf fixiert, ist jeder andere durch eine Zahl beschreibbar, man muss ja nur sagen, wie weit man von P aus nach rechts gehen soll (negative Zahlen werden dann als "gehe nach links" interpretiert). Folglich ist die Linie eindimensional.

Ähnlich begründet man, dass die Erdoberfläche zweidimensional ist, man kann ja jeden Punkt der Erde durch Längen- und Breitengrad beschreiben. Im Raum braucht man dann schon drei Zahlen, und will man gleichzeitig Raum und Zeit festlegen, muss man sogar mit vier Zahlen arbeiten: Das ist die von vielen als sehr geheimnisvoll angesehene vierdimensionale Raum- Zeit der Relativitätstheorie.

Mathematiker arbeiten indes häufig mit noch viel mehr Dimensionen. Wenn sie sich das dann vorstellen wollen, haben auch sie lediglich ein zwei- oder höchstens dreidimensionales Abbild vor Augen, das die wichtigsten Aspekte des Problems wiedergibt, genauso, wie man ja auch aus einem zweidimensionalen Foto auf das dreidimensionale Original schließen kann. Wenn man ohne Bilder auskommt, ist alles sogar noch einfacher. Ein fünfdimensionaler Raum etwa wird dann einfach als die Menge derjenigen Objekte aufgefasst, die jeweils aus fünf Zahlen bestehen.

Das klingt schwierig und abstrakt, hat aber Parallelen zur Alltagserfahrung. Ein Kuchenrezept zum Beispiel ist doch durch die Angabe der Zutaten in Gramm definiert. Legt man die Mengen für Mehl, Zucker, Butter, Ei und Backpulver durch (200,100,80,20,3) fest, so ist damit das Wichtigste gesagt. Das ist, zugegeben, nicht besonders aufregend, bei fünf Dimensionen sind aber noch wirklich keine Raffinessen zu erwarten.

Die Kolumne "Fünf Minuten Mathematik" in der WELT vom 15. 9. 2003 (und in der "Berliner Morgenpost" vom 9. 11. 2003)
Ehrhard Behrends, FU Berlin