Fünf Minuten Mathematik

Die Existenz der "leeren Menge" macht Sinn

Es ist möglich, die ganze Mathematik daraus zu entwickeln - Cantors Mengenlehre bildet die Basis

Horror vacui: Vor dem Nichts haben Mathematikstudenten - wenigstens am Anfang ihres Studiums - sehr großen Respekt. Das ist nicht verwunderlich, auch für die Zahl Null mussten erst viele Jahrhunderte vergehen, bis sie genauso akzeptiert war wie die Sieben oder die Zwölf. Um das Problem zu verstehen, muss daran erinnert werden, dass die von Georg Cantor geschaffene Mengenlehre das Fundament aller zeitgenössischen Mathematik ist. Nach Cantor ist eine Menge die Zusammenfassung von gewissen wohlunterschiedenen Dingen zu einem neuen Objekt. Das gehört auch für Nichtmathematiker zur alltäglichen Erfahrung, jeder hier zu Lande weiß doch, was "die Bundesregierung" oder "die EU" ist.

Problematisch wird es allerdings, wenn bei so einer Zusammenfassung gar nichts zum Zusammenfassen übrig bleibt. "Die Gesamtheit der Bundesbürger, die größer als 3 Meter sind" wäre so ein Beispiel. Es ist wirklich ein bisschen schwer zu verstehen, dass dadurch das gleiche Objekt definiert ist wie durch "die Gesamtheit der ukrainischen Pianisten, die den Minutenwalzer von Chopin in 20 Sekunden spielen können". Beide sind Beispiele für die so genannte "leere Menge".

Die leere Menge spielt eine ähnlich wichtige Rolle in der Abteilung "Mengenlehre" der Mathematik wie die Null für die Zahlen. Man kann sie zu einer beliebigen Menge hinzufügen, ohne diese zu verändern, und durch diese Eigenschaft ist sie auch charakterisiert.

Es ist möglich, die ganze Mathematik aus der leeren Menge zu entwickeln. Zahlen entstehen etwa dadurch, dass die leere Menge als die Null aufgefasst wird und die Eins ist diejenige Menge, die als einziges Element die leere Menge enthält; für größere Zahlen wird alles sehr schwerfällig.

Mit dem Verstehen der Frage "Was ist die leere Menge?" sind die Schwierigkeiten aber noch nicht ausgeräumt. Mathematiker studieren ja auch Aussagen über Mengen, besonders wichtig sind Ergebnisse der Form "alle Elemente der Menge haben die So-und-so-Eigenschaft". Es ist dann in diesem formalen Rahmen gewöhnungsbedürftig, dass solche Aussagen für die leere Menge immer wahr sind.

Die Kolumne "Fünf Minuten Mathematik" in der WELT vom 4. 8. 2003 (und in der "Berliner Morgenpost" vom 7. 12. 2003)
Ehrhard Behrends, FU Berlin