Fünf Minuten Mathematik

Die Mädchenhandelsschule

Das poetische Wort "Komposition" wird in der Mathematik immer dann verwendet, wenn aus zwei Objekten ein neues erzeugt wird. So kann man aus zwei Zahlen x,y die Summe x+y oder das Produkt x*y bilden. Als Beispiel aus der Alltagserfahrung kann man an die Sprache erinnern, aus "Haus" und "Tür" wird "Haustür", und genauso werden sinnvolle Sätze aus Satzteilen aufgebaut.

Studiert man so eine Komposition und möchte man nun damit nicht nur zwei, sondern drei Elemente bearbeiten, gibt es ein Problem. Bei der Addition zum Beispiel könnte man bei gegebenen x,y,z zuerst x+y bilden und dazu z addieren, mit gleichem Recht könnte man aber x zur Summe y+z hinzufügen. In Formeln: Die Dreiersumme könnte als (x+y)+z oder als x+(y+z) erklärt werden. Wenn beide Wege zum gleichen Ergebnis führen, sagt man, dass die Komposition assoziativ ist. Das ist eine ganz wichtige Eigenschaft, sie erspart einem, kompliziertere Ausdrücke in einem Wald von Klammern untergehen zu lassen. Bekanntlich sind die Addition und die Multiplikation von Zahlen assoziativ, es ist zum Beispiel wirklich (1+2)+3=1+(2+3) und (3*4)*.5=3*(4*5). Längst nicht alle wichtigen Beispiele haben aber diese schöne Eigenschaft: Wenn man aus x,y den Quotienten x/y bildet, so ist das nicht assoziativ: Zum Beispiel ist (20/2)/2 etwas ganz anderes als 20/(2/2) (der erste Ausdruck ist 5, der zweite 20).

Sprache ist leider nicht assoziativ, je nachdem, wie man zusammenfasst, kann etwas ganz anderes herauskommen. So titelte der Berliner "Tagesspiegel" vor einiger Zeit: "Justiz ermittelt nach Todesschüssen gegen Polizisten". Hat der Polizist nun geschossen oder war er selbst Ziel eines Angriffs?

Diese Mehrdeutigkeit kann sogar schon bei zusammengesetzten Substantiven auftreten wie bei der "Abschlussklassenarbeit". Und was meinte die Bahn, als sie für ein "Schönes-Wochenende-Ticket" warb?

Ergänzungen

Hier können Sie zu ausführlicheren Informationen zum Thema "Assoziativität" weitersurfen.

Die Kolumne "Fünf Minuten Mathematik" in der WELT vom 22. 9. 2003 (und in der "Berliner Morgenpost" vom 25. 1. 2004)
Ehrhard Behrends, FU Berlin