Das Gefangenen-Dilemma

Ein berühmtes Problem aus der Spieltheorie, das sich auf viele Situationen in Politik, Wirtschaft und auch Kriegsführung anwenden lässt, ist das so genannte "Gefangenen-Dilemma". Hieran lassen sich darüber hinaus einige Methoden und Begriffe der Spieltheorie praktisch  anwenden. Außerdem lassen sich viele Situationen in Politik und Wirtschaft durch die hier gewonnenen Erkenntnisse erklären.

Zwei Männer, Sam und Bob, werden beschuldigt gemeinsam ein schlimmes Verbrechen begangen zu haben. Der zuständige Polizeibeamte macht, um das Aufklärungsverfahren zu beschleunigen, den beiden folgendes Angebot:

Wenn einer der Gefangenen den Hergang des Verbrechens schildert und der andere schweigt, so wird derjenige freigelassen, der mit der Polizei zusammengearbeitet hat. Der Andere muss für 20 Jahre ins Gefängnis. Sollten sowohl Sam als auch Bob reden, gehen beide für je 10 Jahre ins Gefängnis. Wenn beide schweigen, steht der Polizei genug Beweismaterial zur Verfügung um Sam und Paul für je 2 Jahre gefangen zu halten.

Es ist klar, dass beide Spieler das Ziel haben so wenig Zeit wie möglich im Gefängnis zu verbringen. Wenn wir also Punkte für das "Spiel" vergeben wollen, können wir die Anzahl der Haftjahre als einen Verlust, also eine negative Punktzahl darstellen.

Spiele wie dieses visualisiert man in der Spieltheorie mit Hilfe einer so genannten Payoff-Matrix, eine Tabelle in der alle möglichen Strategien für jeden der beiden Spieler aufgelistet sind und die Zellen der Tabelle die entsprechenden Auszahlungen(=Payoffs) für die Spieler wiedergeben. In der folgenden Tabelle ist die erste der beiden Zahlen die Auszahlung für Bob und die zweite entsprechend die für Sam.

Die beiden Gefangenen sind in zwei getrennten Räumen. Keiner weiß, wie der andere entscheidet. Jeder Gefangene stellt nun folgende Überlegung auf:

"Es gibt zwei Möglichkeiten: Mein Gegenspieler kann reden oder nicht. Wenn er redet, muss ich für 10 Jahre ins Gefängnis, wenn ich auch rede und für 20 Jahre, wenn ich schweige. Wenn er aber schweigt, muss ich nicht ins Gefängnis wenn ich rede und für 2 Jahre wenn ich ebenfalls schweige. Also ist es in jedem Fall besser, wenn ich rede."

Allgemein formuliert berechnen die Spieler also alle möglichen Strategiepaare. Der Spieler findet heraus, dass er in jedem Fall, egal was der Gegner gewählt hat, eine höhere Punktzahl erzielt, wenn er redet. Demzufolge könnte man die beiden Zeilen, die für die Schweigen-Strategie bei beiden Spieler stehen löschen, denn wenn sich beide Spieler vernünftig verhalten, würden sie diese Strategie nie wählen. Zurück bleibt also nur eine Zelle für die Strategiekombination, dass beide reden. Dies ist das Strategiepaar, das auftritt, wenn sich beide Spieler ökonomisch rational verhalten, man kann es also als "Lösung" betrachten. Reden wird als dominante Strategie bezeichnet. Die Strategiekombination, in der beide reden, wird Gleichgewicht in dominanten Strategien genannt.

Nun fällt aber auf, dass beide Gefangenen einen günstigeren Ertrag erhalten hätten, wenn sie beide geschwiegen, sich also "irrational" verhalten hätten, nämlich -2. Dies ist das Dilemma der Situation. Dadurch, dass sich jeder Spieler rational verhält, entsteht für beide ein schlechterer Ertrag.

Nun könnte man die Situation dahingehend verändern, dass die Gefangenen sich vor ihrer Entscheidung absprechen können, ihre Strategien aber weiterhin getrennt wählen. In diesem Fall würden sich die beiden Gefangenen wahrscheinlich darauf einigen nichts zu sagen, sodass beide nur für 2 Jahre ins Gefängnis müssen. 

Aber würden sie sich wirklich daran halten? Nach der Besprechung merkt jeder der beiden Gefangenen, dass der andere einen ja vielleicht hereinlegen könnte und trotz der Abmachung reden würde, wodurch er ungescholten davon käme, während man selbst 20 Jahre im Gefängnis verbringen müsste. Andererseits könnte man selbst versuchen den anderen hereinzulegen, um so einen besseren Ertrag zu erzielen. Somit werden weiterhin beide Spieler mit der Polizei kooperieren und ihren Komplizen verraten. Folglich beeinflusst die Änderung des Spiels das Gleichgewicht in dominanten Strategien nicht.

Für die vollständige Darstellung von Spielen gibt es in der Spieltheorie verschiedene Methoden. Das Gefangenendilemma lässt sich, wie die nächsten folgenden Spiele am besten in der so genannten Normalform festhalten.

Wenn man also das Gefangenendilemma vollständig in der Normalform beschreiben will, muss man folgende Angaben machen:

- Es gibt 2 Spieler (Sam und Bob)

- Für jeden Spieler gilt folgende Strategiemenge S={schweigen, reden}

die Auszahlungen können dann in einer Tabelle wie schon geschehen notiert werden.